Question

ぱぱ

この問題の解説で、IIでQの軌跡は、劣弧ABであると言ってるんですが、何を根拠にこれは言ってるんでしょうか？

よろしくお願いします

32 長さ2の線分 NS を直径とする球面Kがある.点Sにおいて球面Kに
接する平面の上で, Sを中心とする半径2の4分円(円周の 1/4 の長さをも
つ円弧)AB と線分 ABを合わせて得られる曲線上を, 点Pが1周する. こ
のとき,線分 NP と球面K との交点Q の描く曲線の長さを求めよ. (東京大)

D
3Z
32"(解答)
ae
2N
N 。
(i) ON
C
60°
B'
Q
牛ます
A)
B'
A)
2
By
S
P
(i)のP
2
A (i) のP
A
B
x

(i) P が弧AB上にある場合
Qは NP の中点である。よって, Q の軌跡は,半径1の4分円である。
身16
年面上で
.(その長さ)=2元×1×-
=
4
2°
(i) P が線分 AB上にある場合
Q の軌跡は,前図(i)における1辺の長さ 、2 の正三角形 NA'B' の外接円 C
の劣弧 A'B' である。
2
2
(円 C の半径)=V2 sin60°×
3
V3
|2、1_2/6z
(その3分円の長さ)=2π,
V3
3×3
9
以上の(i), (i) から
2/6
9
/1
(点Qの軌跡の長さ)=+2ォ=(+ 26)x.
(点Q の軌跡の長さ)=D+
π。
9
(答)
2
の

数学 空間座標

Answer 1

✨ Best Answer ✨

prpr555

平面NABと球の断面を考えればごく当たり前のことだと思います。球の断面は真円になるので。

ぱぱ

ありがとうございます
確かにそうですね
円であることは理解できました！
また、もう一つ初歩的かもしれませんが、疑問が湧いてきてしまいました
なぜ三角形NBAで、中点連結定理が使えるんでしょうか？

お時間あればお願いします

prpr555

この画像のようにzx平面で考えてみてください。
zx平面による球の断面は円になりますね。
ここで線分NAと球面の交点もzx平面上にあるのでA‘となります。
このA’を平面でよく考えると、線分NAの中点になることが分かりますね。
同様にB’も線分NBの中点になります。

ぱぱ

あ！なるほど
もしかして、その中点っていうのも、球の中心をOとすると、NA'OとNASが1:2の直角二等辺三角形の相似だというところから導いたのでしょうか？

prpr555

そうですね。

ぱぱ

ありがとうございます！
理解できました！