Question

まさ

数学の質問です。

写真に問題と解説があります。

別解の部分について質問です。

別解5行目に「bx＋1＝x＋a＋1 がxについての恒等式 だから〜」と書いてありますが、なぜそう言えるんですか？？

友達に聞いたら「bx＋1とx＋a＋1が同じものだから」と言ってましたが、納得できません。
同じものを表すからといって、それが恒等式になるとは限らないと思います。
また、それでは なぜ "xについての"恒等式なのか説明がつきません。その説明だと、aについての恒等式になる可能性もありませんか？

いずれにせよ、「bx＋1＝x＋a＋1 がxについての恒等式 」となる理由を教えてください。

友達の意見と、それに対する僕の考えにも触れていただけたら幸いです。

お願いします。

基本 例題18 割り算と恒等式
37
OOOOの
xの整式x°+ax?+3x+5 を整式x-x+2 で割ると、商が bx+1, 余りがRC
あった。このとき,定数 a, 6の値とRを求めよ。ただし、Rはxの整式または
定数であるとする。
指針>割り算の基本等式 A=BQ+R が恒等式であることを利用する。
基本9,15)
割る式B=x°-x+2 がxの2次式であるから,余り Rは1次以下か0
したがって、R=cx+dとおくことができる。
恒等式x+ax+3x+5=(x*-x+2)(bx+1)+cx+d において,両辺はxの3次式で、木
定係数は a, b, c, dの4個であるから,右辺をxについて整理して, 係数比較法を用いる。
また,阿題のように、直接割り算を実行してもよい。
11
4
恒
CHART 割り算の問題 A=BQ+Rが恒等式
解答
2次式x-x+2 で割ったときの余り RをR=cx+dとおく
と,条件から、次の等式が成り立つ。
x+ax+3x+5=(x*-x+2)(bx+1)+cx+d
この等式はxについての恒等式である。
右辺をxについて整理すると
x+ax'+3x+5=bx°+(-b+1)x°+(26+c-1)x+2+d
両辺の同じ次数の項の係数は等しいから
4(R の次数)<(Bの次数)
つまり,Rは1次式または
定数である。
cキ0なら 1次式
c=0 なら 定数
となる。
4係数比較法。
1=6, a=-b+1,3=26+c1,5=2+d
この連立方程式を解いて
a=0, b=1, c=2, d=3
したがって
a=0, b=1, R=2x+3
別解 x+ax2+3x+5 をx°ーx+2 で割ったときの
商と余りは,右の計算により
x+a+1
xーx+2)x+ax +3x
+5
x- x +2x
商x+a+1,
余り(a+2)x-2a+3
+5
ゆえに,bx+1=x+a+1がxについての恒等式
であるから
(a+2)x-2a+3
4係数比較法。
6=1, 1=a+1
よって
a=0, b=1
R=2x+3
(a+2)x-2a+3にa=0を代入して

Answer 1

ととろ

恒等式の意味を理解していないと難しいと思いますけど、「xについての恒等式」とはそれが「どんなxを持ってきても成り立つ」という意味です。
aについての恒等式と考えるのは自由ですが、それだと特定のxについてしか成り立ちませんし、aの値を求めることはできません。