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因数定理を用いる時、整数を代入して式の値が0にならない場合は分数を代入してみることも大事です。分かりにくい場合は質問して下さい。
因数定理の解法で3次方程式
（２x―１）（x＋１）（x―１）＝０
の左辺の３次式は
（２x―１）,（x＋１）,（x―１）
どの一次式でも割り切れます。
共通因数を探る場合はまず、x,x²の係数を変形をして、くくったり、因数分解したら共通因数をを探れるという発想が重要になります。
因数定理の基本として
f(x)=12x³―5x²+1と置きます。xに簡単な
整数を代入して分数を代入して
f(x)=0を満たすxの値をさぐります。
この場合x=―1/3の時f(―1/3)=0になります
x=―1/3→ⅹ―1/3=0→3ⅹ+1=0になるから
f(x)=(3ⅹ+1)(f(ⅹ)を3ⅹ+1で割った式)=0
になると考えて下さい。よってf(ⅹ)は
3ⅹ+1で割り切れます。f(x)を
因数分解すると
f(ⅹ）=(3ⅹ+1)(f(ⅹ)を3ⅹ+1で割った式)
になります。
f(ⅹ)＝(3ⅹ+1)(f(ⅹ)を3ⅹ+1で割った式)＝0
いうことは
f(ⅹ)＝(3ⅹ+1)(f(x)を3ⅹ+1で割った式)―0
いうことです。
割る式と割られる式の関係式
A＝BQ+RよりR＝0になります。
よってf(ⅹ)は3ⅹ+1で割り切れて
f(ⅹ)=(3ⅹ+1)(f(ⅹ)を3ⅹ+1で割った式)
になります。
(f(x)を3ⅹ+1で割った式)の所
正しくは
(f(ⅹ)を3ⅹ+1で割られる式)
でした。ごめんなさい。
−1/3の見つけ方はありますか？？
因数を見つけるこつとして
±(定数項の約数)／(最高次数の係数の約数)
を式に代入して探ると見つかり易くなります。この場合、定数項の約数は
1となります。
最高次の係数は12であるから12の約数は
12,6,3,2,1となります。xの候補として
x＝±1/12，±1/６，±1/4，±1/3，±1/2
を代入して式の値が0となる因数を探り出します。
最高次の係数が2以上の時にこのやり方を用いて最高次数が１の場合は±定数項の約数を代入すると因数が見つかりやすいです。
組立除法はx+1/3のパターンのみ可能です
12x³―５ⅹ²+1の場合
12 - 5 1
1/3 4 -3 1 ー
12 -9 3 0 ←余りとなる
４=12×1/3，―3=―9×1/３となる
P(ⅹ)=(ⅹ+1/３)(12ⅹ²―9ⅹ+3)
となる。P(ⅹ)を3ⅹ+1で割るから割る数を
（3ⅹ+1）になおさなければならない。
左側の括弧を1/3でくくると
1/３（３ⅹ+1）(12ⅹ²―9Χ+3)
1/３を分配法則を用いて右側の括弧
に掛けると
(3ⅹ+1)(4ⅹ²―3ⅹ+1)
になります。
本当にありがとうございました！！！
すごく丁寧に説明くださり、助かりました☺
別解としてー５x²＝ー９x²＋４x²と変形して共通因数を探る方法もあります。参考にして見て下さい。