Question

まゆ

数Ⅱ 関数の値の変化のところです
問題の前半はなぜ相加平均相乗平均の大小関係を使うのでしょうか？
写真2枚目も同じ問題です。矢印のところはどこからきてるのか教えてください。

258 一数学 II
S(1)=(E
EX
の156
関数「(x)=2*+2-x は x=D"] のとき, 最小値 口をとる。 また。
DX
152*>0, 2-*>0 であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係系に
より
とる。
大小関係
a>0, b>0のとき
a+b
相加平均と相乗平物。
/
f(x)=2*+2-*22/2"·2-x=2
等号は 2*=2-x すなわち x=0 のとき成り立つ。
よって,f(x)は x=70 のとき,最小値 (2をとる。
したがって,2*+2-*=t とおくと
S(t)=
2
a=bのとき等号成立
ロ 2*+2, 2*+
を 2+2* で表す。
S(t)
t22
また
8*+8-*=(2*+2-*)3-3·2**2-*(2*+2-*)=t8-3t
g(x)=8"+8-*-4(4*+4-*)=-3t-4(1?-2)
=ー4°-3t+8
よって
日tの3次関数。
h(t)=t°-4t°-3t+8 とすると
の42-8f-3=(3t+1)(t-3)

ーとおくと
-ものとき
また
22
8*+8-*=(2*++2-)-3·2*·2-* (2+2)=Dパー3€
g(x)=8*+8-*ー4(4+4~)%3やー3t-4(-2)
を
よって
=-4ー3t+8
h(t)=ー4t?-3t+8 とすると
h'(t)=3t°-8t-3=(3t+1)(t-3)
h'(t)=0 とすると
3
3
t
2
3
h'(t)
極小
h(t)-6-10
t22 における h(t)の増減表は右の
ようになる。
したがって,h(t)すなわち g(x) は
t=3 のとき最小値オー10 をとる。
このとき, 2*+2-*=3 であるから(2*)?-3·2*+130
00
-3土、15
80口解
よって
2*=
2
+aB
両辺の2を底とする対数をとると
log22*=loga(3土5)-1og2
x=-1+loga("3土、5)
ia-ま'nia) (2
( D(6+p
ゆえに
2hなれ荘

Answer 1

✨ Best Answer ✨

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a^x＋a^-xというのは相加相乗平均を使い易い形をしているていうのが結論です。なぜならa^xはa^-x掛け合わすと1になります。つまり文字も残らず、定数が出るわけですね。これは質問の回答のように最小値を求める際に非常に有効です。まあこういった形の最小値を聞かれたら相加相乗というのはある意味大学受験の定番パターンです。

まゆ

なるほど、簡潔にするためですか。受験情報ありがとうございます<(_ _)>