Question

笹

なぜ3つの実数解を持つときを考えているのでしょうか？
同じ点から2つの接線を引ける場合などは無いのでしょうか？

え方 曲線 y=x+3xへ点(1, a)から3本の接線が引け
点P(1, a)から曲線 y=x°+3x?へ3本の接線が引けるように, 定数
3本の接線が引けるための条件(1)
例題 224
へ
の値の範囲を定めよ。
YA
るというのは, 右の図のようなときである。
aをt(接点のx座標)の式で表したとき, aの値によ
ってもの値が3つあるとき(つまり,接点が3つあると
き)、3本の接線が引ける.つまり,曲線上の点
(t. ポ+3t°)における接線の方程式に x=1, y=aを
代入した3次方程式が異なる3つの実数解をもつため
の条件を考える。
-3|-2
y=x°+3x?より,
したがって,曲線上の点(t, ピ+3t°)における接線の
方程式は,
つまり,
この直線が点P(1, a) を通るので,
a=(3t2+6t)-1-2t°ー3t
y=3x°+6x
yー(+3t°)=(3t+6t)(x-t)
ソ=(3t?+6t)x-2ー3t?
ゾ=3x?+6x より,
傾きは,3t°+6t
x=1, y=a を代入する。
3次関数のグラフでは,
接点が異なれば接線も
より。
a=-2t°+6t
したがって, tの方程式①が異なる3つの実数解をもつ
のは,f(t)=-2t+6t とすると,y=f(t) のグラフが直
線y=a と異なる3点で交わるときである。
f(t)=-6t°+6=-6(t+1)(t-1)
f(t)=0 とすると,
f(t)の増減表は次のようになる。
異なる。
y=f(t) と y=a
の共有点の個数
曲線 y=x°+3x° 上
の接点の個数
t=±1
第E
Y4
4
t
-1
1
y=a
f(t)
0
極小
-4
極大
4
f(t)
ソ=f(t)のグラフは右の図のよう
になる。
a=±4 のときは接線
が2本になり,
a<-4, 4<a のとき
よって, グラフより,求めるaの
値の範囲は、
は接線が1本である。
-4<a<4
Tocus
ケたない)

Answer 1

A.J

同じ点から2つの接線は引けません。点Pと接点を通る時点で、一次関数は一意に定まるからです。似たような疑問として、2つの接点を通る1つの接線が出てくるのではないか？というものがありますが、これは三次関数では起こり得ません。