Question

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⑵の最後、なんでy座標≦0になるのか分かりません🙇‍♂️

I
k>0とし、方程式y=x°-kxによって与えられる曲線をCとする。
C上の点A (a、α-ka) (aキ0) におけるCの接線をliとし、 Cと lの共有点のうちAでないも
のをBとする。また。点BにおけるCの接線をlぇとする。 このとき、次の問いに答えなさい。
(1) a=-2のとき, Bのx座標は
9
である。
(2) liと lzが直交するとき、 a, kは関係式
10]-k) ( 11
ーk)%3D- 12
を満たす。ただし,
10
<| 11 とする。
また、このようなaが存在する kの値の範囲は
14
13
15
である。

(2)点Aにおける#泉,のカ程式は、y= 3x? -kよ
サー(a'-ta)(ba'-k)(x-a)
y=(3a'-k)x-2a'
yミ-kx_と 本立して
x3 -kx =(3a' -よ)x -
x3 - x_t 2a:0
(x-a)?(x+ 2a) -0
x -a」-2a
よっと」点Bのx座標はxチaより
たがって、bに おける主接線の他類きは
3-2a) ~ト=12a-ーk
chより、と4が直交する条件は、Rの式が成り立つことである。
13a')(a'-k): -1→ 10~12
a=t Yおくと,+>0(a# 0より)て"あり上式は
(3t -RX124-k)=!
すなちち
36t?- 15tt +k'+ =0
よって,aが存在する条件は、tの方程式()の少なくとも1つの
正と友ることであ3、
()の実数解はy: 36t° -15H+ド+lのグラフとも車由の共有点の
標である
f{t)= 36t' - 15kt + k'+1 とおくと
4(t)= %{t- - ?+1
メミー2a
と友り」よ>0よY,軸t=5k20であるがら、求める条性は
(項点のy座標
すなカち
24
b
よ>0より
→ 13~15

Answer 1

✨ Best Answer ✨

かき

tが実数解をもつための条件です。
それは、、、
f(t)のグラフが、t軸と共有点をもつ条件です。
そのためには、、、
f(t)がt^2の項の係数が正なので
下に凸のグラフであるから、頂点のy座標≦0なら、
t軸と1点で接する、または2点で交わることになります。
つまり1つまたは2つの実数解を持つことになります。

かき

ちなみに、判別式≧0も実数解を持つ条件ですが、
同じ条件式が導かれるはずです。
D=(-15k)^2 - 4×36×(k^2 +1)
　=9 (25k^2 -16k^2 - 16)
　=9 (9k^2 - 16)
D≧0 より
　9k^2 - 16 ≧0
同じ条件式が得られました。

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ありがとうございます!!
理解出来ました！🙇‍♂️

かき

よかったです❗️