Question

@.

なぜここがマイナスになるんですか？
三次関数だとy’のグラフを書いて求められるんですが、四次関数の場合どう考えればいいんですか？

[327改訂版 数学I 練習17]
次の関数の最大値と最小値を求めよ。
(1) y=x°-3x+4(-2<x<3)
(3) y=x*-4x3+ 12 (-1<x4)
(2) y=-2x°+6x?-8 (1<x<3)

x
-1
0
3
4
y"
0
0
極小
y
17
12
12
-15
ゆえに,x=-1 で最大値17,x=3 で最小値 - 15 をとる。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

えだまめ🫛

(3)
xの関数yをf(x)に置き換えると
f(x) = x⁴-4x³+12

f(x)をxで微分すると　f'(x) = 4x³-12x² = 4x²(x-3)

f'(x)=0 の解は　x = 0 ,3

f'(x)の+-を調べるために
f'(x)にx = -1 ,1 ,4 を代入すると

f'(-1) = 4･(-1)³ - 12･(-1)² = -4-12 =-16
f'(1) = 4･1³ - 12･1² = 4-12 = -8
f'(4) = 4･4³ - 12･4² = 256 - 192 = 64

よって　f'(-1) < 0 , f'(1) < 0 , f'(4) > 0

なので増減表のy'の行は左から
空白　- 0 - 0 + 空白　　となります

画像は　y = 4x³-12x² のグラフです

@.

ありがとうございます！！！
やっぱり数を代入して＋-を求めないといけないんですね。理解できました！

えだまめ🫛

いえ、この回答は基本に従ったまでで
慣れてしまえば代入する必要はないですよ
難しい説明になりますが

この問題で言うと
・f'(x)が3次関数であること
・f'(x)の3次の係数が正であること
・f'(x)=0がの解の個数が2つ(重解を持つ)こと
・f'(x)=0の重解が他の解よりも小さいこと

これがわかれば
図を書いたり、代入せずに　- , - ,+ とわかります

これがなぜわかるのかを説明すると

3次関数のグラフは主に
3次の係数が正だと上がって下がって上がる📈か
3次の係数が負だと下がって上がって下がる📉か
3重解を持つパターンの3つに分けられます

この問題は f'(x)=4x³-12x² = 4x²(x-3) で
3重解を持たないので
上がって下がって上がる📈パターンですね

このパターンがわかれば
あとはf'(x)のグラフのどこでx軸と交わるのかを
考えれば　+ - が分かります

この問題は重解があるので少しややこしいのですが

f'(x)=0の解が　x = 0(重解),3 なので
f'(x)のグラフがx=0で極大となり
極大値f'(0)でちょうどx軸と接するとわかります

これで y'の行は
空白 - 0 - 0 + 空白となります

説明が長くて難しくなってしまいました。
わかりにくくてすみません。

えだまめ🫛

私が回答を書くとしたら

xの関数yをf(x)に置き換えると
f(x) = x⁴-4x³+12

f(x)をxで微分すると　f'(x) = 4x³-12x² = 4x²(x-3)
f'(x)=0 の解は　x = 0(重解) ,3

f'(x)の3次の係数が正で
f'(x)=0がx=0で2重解を持つから

増減表のy'の行は左から
空白　- 0 - 0 + 空白　　

こんな感じになります

@.

なるほどです！少し難しいですね。
返信遅れてしまってごめんない！ありがとうございます😭