Question

なたろー

この問題の(1)の解答の「x²の係数が1で正であるから」のところなのですが、この条件がないと判別式Dが0未満になるという条件を使えないのでしょうか？理由も教えて欲しいです！

常に ax°+bx+cS0→a<0, D<\
180
基本例題113 絶対不等式
(1) すべての実数xに対して, 2次不等式r+(k+3)xーk>0z
定数をの値の範囲を求めよ。
基え
0S
の 立っ
うス
D.171 基本事項6
「演習129、
数aの値の範囲を求めよ。
指針
指針> 2次式の定符号 2次式 ax+bx+¢についてD=6°-4ac とする。
常に ax'+bx+c>0→a>1, D<0
常に ax+bx+cく0→a<0, D<0
(1) の係数は1(正)であるから, D<0が条件。
(2) 単に「不等式」とあるから, a=0(2次不等式で
ない)の場合とaキ0の場合に分ける。
補足 ax'+bx+c>0に対して, a=0の場合も含め
ると,次のようになる。
常に ax'+bx+c>0→=b=0, c>0; または a>0, D<0
常に ax°+bx+cハ0 la<0, n)
n
C
【a>0, D<0]
[a<0, D<0
解答
(1) xの係数が1で正であるから, 常に不等式が成り立|
つための必要十分条件は, 2次方程式
x°+(&+3)xーk=0 の判別式をDとすると
D=(k+3)°-4-1-(ーん)=k°+10k+9=(k+9)(k+1)
であるから, D<0より (k+9)(k+1)<0
「すべての実数 x」または「任意の実
数x」に対して不等式が成り立っと
は、その不等式の解が,すべての実
数であるということ。
(1)のD<0は,下に凸の放物線が常
にx軸より上側にある条件と同じ。
D<0
ゆえに -9<kく-1
ACarcet,

数学1 絶対不等式 2次不等式

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ぽっきー

x^2の係数の正負は凸性を判定するためだと思ってください。
今回,下に凸ということなので左辺をf(x)とおくとこの2次関数y＝f(x)が常に正であるためには
x軸と共有点を持たなければいい⇔D<0という条件を考えればいいということになります。
ちなみにもし,上に凸であった場合,すべての実数でf(x)>0になることはあり得ないので解なしになります。
(グラフを描いてみたらすぐにどういうことなのかがわかると思います)

なたろー

そんな意味があったのですね！理解できました！ありがとうございました！