Question

魚見さん

半径rの求め方と赤線の部分がよくわかりません。

「（円Sの内部にある）点Hを通る、円S」って、
それはもう円Sではない気がするのですが…。あと点PがP0と一致する時に、HPの長さが最小になる理由も分かりません。

教えてほしいです。

97 空間における円と最短距離·40 分>
空間に4点A(-2,0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 0, 2), D (2, -1, 0) があ
る。3点A, B, Cを含む平面をTとする。
(1) 点Dから平面Tに下ろした垂線の足H の座標を求めよ。
平面Tにおいて, 3点 A, B, Cを通る円 Sの中心の座標と半径を求めよ。
点Pが円 Sの周上を動くとき,線分 DP の長さが最小になるPの座標を
く大阪市大〉
求めよ。

したがって, 3点 A, B, C を通る円 S の中心(△ABC の
これをOに代入すると,点Hの座標は
AB= BC= CA = 2V2 だから, △ABC は一辺の長さ
1
2
5
3
3'3
が2V2の正三角形である。
外心)は,AABC の重心Gと一致して
-2
oG
(OA + OB + OC)
三
2
3
3
2
2
2
2
ゆえに, S の中心Gの座標は
3
3
3
また,円Sの半径rは
2v2
AB =
V3
V3
(3) DHI平面 ABC から
DP? = DH° + HP?
そして, DH は一定だから, DP の長さが最小になるのは HP
の長さが最小のときである。
D
P
平面T
P。
円S
ここで,GH =
0
から,6とあわせて
2
V3
よって,点Hは平面 ABC 上で円S の内部にある。
このとき,点Hを通る円Sの半径を GPo とすると,点Pが
Po と一致するとき HP の長さが最小となる。
GPo
GH
~ M ~
GH
GH
GH
1
2
0
V3
(から)
: OF。= OG + GP。
1
2
(のから)
3
N
したがって,求めるPの座標は
2
2
2
2
2
3
V3
3
3
V3
222
II

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きらうる

①半径について
正弦定理を使えばすぐです。
a/sinA=2R　a＝2√2、sinA＝√3/2　より
→　2√2/(√3/2)＝2r
→　r＝2√2/√3

②「（円Sの内部にある）点Hを通る、円S」について
点Hを通る半径GP₀の円Sが、P＝P₀と一致するとき、HPの長さが最小になる、　ということ。
わかりにくい表記ですね。

③
Hは円Sの内部にあるので、△DHPにおいて、
DPの長さが最小になるためには、DHが一定なことから、
HPが最小になればいい　ってこと
別で写真を送ります

きらうる

写真です

魚見さん

回答ありがとうございます。

①〜③まで丁寧に解説してくださってありがとうございました。

ひとつ、わからないことが増えたので教えてほしいです。
私が添付した画像の2枚目について、赤線のすぐ下
波線部で「GP0と半径rが等しくなっている」のですが、なぜでしょうか…

きらうる

一つ上の写真の最小のときように、GP₀＝GPとなった場合、GP₀は円の半径にあたります。

魚見さん

あぁなるほど！よく理解できました！

回答ありがとうございました！