Question

寧々

三角関数が絡んだ増減表が苦手です。
単位円をかいて一つ一つ符号を確認しているのですが、時間がかかりすぎてしまいます。
そこで、いい考え方やコツなどあれば教えていただきたいです。
また、極値を求めよという問いに対してグラフをかく必要はあるのでしょうか？必要がある場合はその理由も教えていただきたいです。
以上の2点に答えていただきたいです🙇‍♀️

171 次の関数の極値を求めよ。ただし, 0<x< 2x とする。
(1) y=
sin2x- sinx+x
2
(2) y= sin° x + cos® x
1
-sin2x- sinx+x について
ニ
y= cos2x- cos.x+1= cos.x(2cosx-1)
y=0 とおくと
1
COSX = 0 または cosx=
2
3
π
X=
3?
5
T,
2
π
0Sx<2π の範囲で
COSX = 0 より
π
2
3
Tπ
x=
3
π
よって,0Sxい 2x. において, yの増減表は次のようになる。
2
2?
3
Tπ
5
π
3
1
より
2
Tπ
π
27
|2元
COSX =
x
0
3
2
Tπ
x=
5
π
3'3
0
0
0
0
13
3
-π+1
2
/3
5
π
-1
2
π
2元
4
y
π+
3
4
ゆえに

北ミ
3
=のとき
2元
オ+1
13
Tπ
4
3
13
π+
4
3
π
極大値
3
4
3
42個
-1
π のとき
2
xミ
53
0
3
2元 x
π π
32
3
極大値
π+1
2
北ミ
2
;のとき 極小値
2
5
5
3
x=
3
-πのとき 極小値
+
3
-π
4

微分 増減表 三角関数

Answer 1

✨ Best Answer ✨

零

①例えば次のような方法はどうでしょう。
y'＞0となるxの範囲を求めることを考えます。
y'=cosx(2cosx-1)
=t(2t-1)＞0
※簡単のためcosx=tとしています。
この2次不等式をtについて解くと、
t＜0,1/2＜t
すなわち、
cosx＜0, 1/2＜cosx
これを単位円を用いてxについて解くと、
π/2＜x＜3π/2, 0≦x＜π/3, 5π/3＜x≦2π
以上がy'＞0となるxの範囲です。
それ以外のxにおいてはy'≦0となります。
ですが一応、y'＜0についても解くと、
0＜cosx＜1/2
π/3＜x＜π/2, 3π/2＜x＜5π/3
となります。
②極値は増減表で十分判断できるのでグラフは書かなくていいと思います。

寧々

考えてくださってありがとうございます。
確かに、最初に不等式を解く方法も出来ますね！
使いやすい方を検討しようと思います。
ありがとうございました😊