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できると思います。
どちらで解釈するかは文脈によると思います。
2つ目の方の解釈は別に「大過去」ではありません。「主節と分詞構文の時制が異なる(現在と過去)」というのをHaving + 過去分詞で表しています。
これはHaving + 過去分詞の基本的な用法です。
1つ目の訳のように、Having + 過去分詞を「完了」と解釈する場合もあって、
そのパターンだとすると、この文の場合は
主節が現在なのでHaving + 過去分詞は現在完了を表していることになります。
遅くなってしまいすみません。ご回答ありがとうございました!