Question

たなたは

この問題の(3)がわからないです
なぜ、rぶんの1にするのですか？

nを1以上の整数とするとき,次の問いに答えよ。
(1) √n が有理数ならば, nは整数であることを示せ。
(2)
√n√n+1 がともに有理数であるようなnは存在しないことを示せ。
(3) √n+1-√nは無理数であることを示せ。
[富山大〕
→61,62

(2)√nn+1 がともに有理数であると仮定する。
このとき, (1) から,n,n+1 はともに正の整数である。
√n=k, √n+1=l (k, lは正の整数)とおくと
n=k2
③. n+1=12
4
......
......
③ ④ に代入すると k2+1=12
よって
12-k²=1
すなわち
l+k, l-kは整数であり 1+k0 であるから
l+k=1, l-k=1
1
√n+1=√√n
=√√√n+1+√√√n
(1+k)(l−k)=1
これを解くとk=0,l=1
これはんが正の整数であることに矛盾する。
したがってnとn+1 がともに有理数であるようなnは ←例えば、n=3のとき
存在しない。
√n=√3 (無理数)
√n+1=√4=2
(3) √n+1-√n が有理数であると仮定する。
√n+1-√n=r(rは有理数)とおくと, r≠0 であり
1
√n+1+√n
r
(√√n+1-√√n)(√n+1+√n)
√n+1−√n=r, √n+1+√√n = = = 2 4²³ 5
1
√n-² (1-r). √n+1 = 1/2 (r + ² )
n=
2
rは有理数であるから,√n, √n+1はともに有理数である。
これは (2) の結果に矛盾する。
よって、n+1-√は無理数である。
-59
である。
(有理数
0
€√√n+1=r+√n,
fn=n+1-r をそ
ぞれ2乗することで
√n = (r Dit),
√n+1=(rの式)
を導いてもよい。

数学 背理法 青チャート

Answer 1

すいか

無理数は、整数を使うだけでは表すことのできない数(◯ぶんの△という形にはできない)のことです。

そのため証明の仕方として、
「Aが無理数であることを示せ」
→「Aを有理数(◯ぶんの△)だと仮定すると、矛盾が生じることを示す」
という手順をふんでいます。