Question

よぐ

画像1枚目が問題で、2枚目がその解説です。(2)について、緑で書き込みをした箇所で既に無理数=有理数という矛盾が生じていると考えました。これでは証明として不十分な理由を教えて下さい。

(1) 自然数nについて,n2 が10の倍数であることはnが10の倍数であるための必要十分条件で
あることを示せ。
(2) 自然数m,nに対してm√2+2√5は無理数であることを示せ。
(2012年 茨城大)

(2) m√2+√5 が有理数であると仮定し
m√2+√5=(aは有理数)
とおく。 両辺を2乗して
2m²+5m²+2mn√/10 α 2
=
a
2mn/10= a²2m² -5m²
m,nは自然数より,2mn=0であるから
a²-2m²-5n²
2mn
a, m, nは有理数であるから、①の右辺は有理数
である。 よって, 10 も有理数であるから
√10:
=
10 =
S
√10= 22 (r, s は互いに素な自然数)
r
とおける。 両辺を2乗して
2²
10r2 = s2 ......②
S
・①
......
s = 10t(tは自然数)
とおける。 これを②に代入して
10r² = (10t)2
無理数では?
②より, s2 は 10の倍数であるから, (1)より,s は
10の倍数であり
r2=10t2
これより, r2は10の倍数であるから, (1) より, r
は10の倍数である。
よって, s, rがともに10の倍数となり,r,sが
互いに素であることに矛盾する。 したがって,
m√2+√5は無理数である。

Answer 1

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Clearnote User

それをするためには「√10が無理数であることを利用してよい」みたいな前提が必要なのではないでしょうか？

よぐ

確かにそうですね！ご回答ありがとうございます！