Question

ノーマン

青い星がついているところの解説がいまいち理解出来ていないので詳しく教えていただきたいです。

放物線①と軸の交点の個数と円と放物線の交点の個数の関係についてだと思うのですが…

の共有点をもつ場合を考えて
929
放物線y=2x2+αと円x2+(y-2)=1について,次のものを求めよ。
練習
2 102 (1) この放物線と円が接するとき,定数aの値◎
(2) 異なる4 個の交点をもつような定数aの値の範囲4
愉

練習 放物線y=2x²+αと円x²+(y-2)=1について,次のものを求めよ。
■02 (1) この放物線と円が接するとき,定数aの値
(2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲
コ)y=2x²+αから x² = 1/2 (v-a)
これをx²+(y-2)=1に代入して
1/12(y-a)+(x-2)=1
a
よって
このとき, ①の解はy=-
2y²-7y-a+6=0 ......
ここで, x2+(y-2)=1から x2=1-(y-2)^≧0
ゆえに -1≦y-2≦1 よって
[1] 放物線と円が2点で接する場合…… (*)
2次方程式 ①は②の範囲にある重解をもつ。
ゆえに、①の判別式をDとすると
ここで
D=0
D=(-7)²-4・2(-a+6)=8a+1
ゆえに 8a+1=0
よって
-7
-
2.2 4
13
1≤ y ≤3 ...
a=
(2)
x
8
となり,②を満たす。
x2+(y-2)=1の
中心は (0, 2), 半径は1
←(実数)20
←(y-2)^1から
-1≦y-2≦1
⑩ 接点重解
←2次方程式
py'+qy+r=0の重解は
2p

[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から,点 (01), (03) で接する場合で 1,3
以上から, 求めるαの値は
1
81,3
(②2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは, (L) の図から, 放物線
の頂点(0, α)が,点(0, -1/2)と点(0, 1)を結ぶ線分上(端
点を除く)にあるときである。したがって 1/12 <a <1
a=-
別解 1.②までは同じ。x2+(y-2)^=1について
y = 1,3であるy に対してxはそれぞれ1個 (x = 0 )
1 <y <3 である yに対してxは2個
定まるから
(1) 放物線と円が接するのは、次のいずれかの場合である。
[1] ① がy=1 またはy=3 を解にもつ
[2] ①が1<y<3の範囲に重解をもつ
[1] のとき 2-1²-7-1-a+6=0b²5
2・32-73-α+6=0から
[2] のとき,
したがって
a=1,3,
★ (2) 放物線と円が異なる4個の共有点をもつのは,2次方程
式①
1<y<3の範囲に異なる2つの実数解をもつとき
である。よって,次の [1]~[3] を同時に満たすαの値の
範囲を求める。
(*) の場合と同様にして
1
8
なお, f(y)=2y2-7y-a+6 とする。
[1] ⑩ の判別式をDとすると D>0
ゆえに, 8a+1>0から
7
[2] 軸について
[3] f(3)=3-a> 0から
f(1)=1-α>0 から
③~⑤の共通範囲を求めて
別解 2. ① から 2y2-7y+6=a
1<=<3
a>
a=1
a=3
1
8
a=--
a<3
a<1 ...... ⑤
// <a
<a<1
1
③
8
これは常に成り立つ。
←頂点のy座標に注
f(y) 1
0
21:
y1
X10
軸
1<<
+
AP

Answer 1

✨ Best Answer ✨

大麦

付属の図を見てみてください
一つのyに対してxが二つ対応しています
などで異なる4個の交点が欲しいなら、式①で
yが２つ異なる解を持てば良いということです！

ノーマン

ありがとうございます！