Question

ふらみんご

(3)で、条件にD>0が入らない理由がわかりません
条件である(α-1)(β-1)<0にD>0が含まれているから、と調べたら出てきたのですが、それだけでは理解できなかったので詳しく教えていただけると助かります、、

①
□ 116 2次方程式x2+2mx+2m²-5=0 が,次のような異なる2つの解をもつよ
うに、定数mの値の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
* (2) 2つの解がともに1より小さい。
(3) 1つの解が1より大きく, 他の解が1より小さい。
ヒント
114 (3) x+4=(x+4x²+4)-4x² として因数分解を進める。
116 (3) α<1<β または β<1<α ⇔(α-1)(B-1)<0

Answer 1

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D ＞ 0 ⇔ f(x) ＝ 0 は異なる2つの実数解をもつ

【f(x) ＝ 0 の実数解を x ＝ α, β とすると、】
(α－1)(β－1) ＜ 0 ･･･★
⇔ ｢α ＜ 1 ＜ β または β ＜ 1 ＜ α｣

と言い換えられることに着目します。

｢α ＜ 1 ＜ β または β ＜ 1 ＜ α｣ ･･･☆
ならば、α ≠ β なので、α, β は異なる実数解であることが分かります。

つまり、条件☆を満たすならば、f(x) ＝ 0 は、異なる2つの実数解を【必然的に】持ちます。

よって、条件★を満たすならば【必然的に】D ＞ 0 が成立するので、｢D ＞ 0｣ という条件を考える必要が無いのです。

(条件 ｢D ＞ 0｣ を考えても、結局求めるべき答えは、条件★で求めた範囲になる)

ふらみんご

丁寧に解説してくださりありがとうございます！！
αとβが異なる実数解であると分かった時点でD>0を満たしているんですね！すごくわかりやすかったです✨！
ありがとうございました！