Question

美沙

この問題わかる方お願いします🙇‍♀️

194>0のとき,定積分でdxを求めよ。
a

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きらうる

2通りの解き方あります。

①図形的に求めます。

y=√(a²-x²)　とおくと
y²＝a²-x²
→　x²+y²＝a²
この式は、中心原点、半径aの円であることを表しています。
y≧0なのでx軸より上の半円、
積分区間0～a/2だから、0≦x≦a/2の範囲の面積を求めれば良いことになります。

写真の様な図形の面積を求めることになるので、
三角形＝a/2×√3a/2×1/2＝√3a²/8
扇形＝πa²×1/12＝πa²/12
よって、
面積＝(πa²/12)+(√3a²/8)

②普通に積分する方法で解きます。
x＝acosθとおく
dx＝-asinθdθ　
x…0→a/2　は　θ…π/2→π/3
a²-x²＝a²-a²cos²θ＝a²sin²θより、

与式＝∫[π/2→π/3](asinθ)・-asinθdθ
　＝a²∫[π/3→π/2]sin²θdθ
　＝a²∫[π/3→π/2](1-cos2θ)/2dθ
　＝a²/2[θ-1/2sin2θ][π/3→π/2]
　＝a²/2{π/2-(π/3-1/2sin(2π/3))}
　＝a²/2(π/6+√3/4)
　＝(πa²/12)+(√3a²/8)

きらうる

写真です

美沙

丁寧にありがとうございます🙇‍♀️
x=acosθとおくのは覚えるしかないのでしょうか？

きらうる

√(a²-x²)
この形が出てきたら、x＝acosθ、もしくはasinθで置き換えるのは鉄則です。
積分計算はほぼ覚えゲーなのでたくさん覚えてください。

美沙

わかりました！！ありがとうございます