164 平行六面体の体積
空間内の3点A (1, 1, 1), B(-4, 2, 2), (-1,-1, 2)の原点O
(0, 0, 0) に関する位置ベクトルをそれぞれ, a, , ことする. 分 OA, OB
OCを3つの辺とする平行六面体(向かい合う3組の面が,それぞれ平行で
ある六面体) について,
(1) 0, A,B,C以外の他の4頂点の0に関する位置ベクトルを,a,b,c
で表せ.
(2) この六面体の体積を求めよ.
平行六面体の体積は方式の
○ 精講
1つの面の面積×高さ
です。 a, 方でつくられる平行四辺形の面積Sは
s=√a²b³²-(a b)²
解答
(1) 右の図のように残りの点D, E,F,G をとる.
OD=OB+BD=0B+OĆ=b+c)·¶/
TA
OE=OA+AE=OA+OC=a+c
OF=OA+AF=OA+OB=a+b
OG=OF+FG=OF+OC=a+b+c
(2) a•b=-4+2+2=0, a ・c=-1-1+2=0,
bc=4-2+4=6
: alb, alc
平行四辺形OBDC の面積をSとすれば,
解法のプロセス
平行六面体の体積
1つの面の面積×高さ
=√価岡部-(a)2×高さ
U
S²-16|²|c1² (6•c)²=(16+4+4)(1+1+4)−6²=6²×3
::S=6√3
... 体積=Sxlal=6√3×√3=18
(都立大)
E
b.
A
PJA
..」 (平面 OBDC)
(?)から, 四角形OAFBの面積Sは簡単に出る.
√3-√24-6√2
D
'B
F
√3
sina=-2
