Question

マル

(ウ)の問題です。
「|X|<Yのとき、-Y<X<Y」を利用する解法は理解できました。

別な解法も試そうと思い、素直に絶対値の中身で場合分けをして解こうと思ったのですが上手くいきません。
どなたかこの解法での解答を教えていただけませんか？

8 1次方程式・不等式/絶対値つきを解くなど
(ア) ||x-1|-2|=3 を解け.
(イ) 不等式|x|+|x-1|≦|x+1| を解け.
(ウ) 不等式 | ax+1|≦bの解が-1≦x≦5のときa=b=である.
(愛知工大,金沢工大)
GRO
(東京農大)
(麻布大生命環境)

絶対値 不等式

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きらうる

a=0と仮定すると
|ax+1|≦b　→　|1|≦b　→　b≧1
となる。これはxの値に関係なくb≧1という事なので、
-1≦x≦5という解にならない。
ゆえにa=0ではない。a≠0。

|ax+1|≧0より、b<0と仮定すると
|ax+1|≦b　の解が存在しない、
すなわち解が-1≦x≦5にならないのでb<0ではない。
b≧0

ax+1＞0のとき、
ax+1≦b
→　ax≦b-1
さらにa＞0のとき、
→　x≦(b-1)/a…①

ax+1＜0のとき
-(ax+1)≦b
→　-ax≦b+1
さらにa＞0のとき、
→　x≧(-b-1)/a…②
①②から
(-b-1)/a≦x≦(b-1)/a　
これが、-1≦x≦5と一致すればいいので、
(b-1)/a＝-1、(b-1)/a＝5
a=-1/2, b=-3/2
これらはa>0、b≧0を満たさないから不適。

a＜0のとき、①②の不等号の向きが変わるので、
(b-1)/a≦x≦(-b-1)/a
これが-1≦x≦5と一致すればいいので、
(b-1)/a=-1 、(-b-1)/a=5
a=-1/2, b=3/2
これらはa<0、b≧0を満たすから適する。
よって、a=-1/2, b=3/2

マル

詳しい解答をありがとうございます！
aの場合分けを忘れていました笑