Question

函館駅前

230が分かりません😭
誰か教えて頂けるとありがたいです。

理解できましたら、ベストアンサーにします！

228. Z1,Z2,Zs は複素数で, |21|=|z2|=|zg|=1 であるとき
2₁22 +2223 +2321
を求めよ.
21+22+23
[北見工大]
*229. 複素数 α, β, r,ôが α+β+y+ô= 0 および|a|=|B|=|x|=|0|=1
を満たすとき, la-B12+α-y2+α-612 の値を求めよ.
[横浜市大〕
230.α, β が複素数で |α|=2,|B|=1,|a+8=√3であるとき
(1) を極形式で表わせ.
B
(2) nが正の整数のとき |a^-β" を求めよ.
2π
2π
+isin
とするとき
5
5
(1) 1+ω+w²+ ω + α の値を求めよ.
〔早稲田大〕
231.COS
[大阪外大〕
大
07-25

複素数 極形式

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きらうる

(1)だけですが

|α+β|²=(α+β)(α⁻+β⁻)
＝αα⁻+αβ⁻+α⁻β+ββ⁻
＝|α|²+αβ⁻+α⁻β+|β|²
＝5+αβ⁻+α⁻β

|α+β|²=3より
5+αβ⁻+α⁻β=3
→　α⁻β+αβ⁻=-2

また、
|β|²＝1　→　ββ⁻＝1
→　β＝1/β⁻
→　β⁻＝1/β
から、
α⁻/β⁻+α/β=-2　
→　β/α+β⁻/α⁻=-1/2　　…①

|α/β|²＝(α/β)・(/α⁻/β⁻)
|α/β|²＝|α|²/|β|²＝4
より、(α/β)・(α⁻/β⁻)＝4…②

①②より、α/βとα⁻/β⁻を解に持つ二次方程式は
t²+2t+4＝0　とおけるので、
t＝-1±√3i
　＝2{(-1/2)±(√3/2)i}　
よって、
α/β＝2{cos(2π/3)+i・sin(2π/3)}
もしくは、2{cos(4π/3)+i・sin(4π/3)}

あんまり自信ないっす

函館駅前

回答ありがとうございます！
答えはあってます。解と係数の関係に帰着するのは思いつかなかったです。 自分の数学力が落ちてきてるのを実感します(笑)
(2)はα^n-β^n=(β)^n{(α/β)^n-1}として進めるといけるのは見えますが、結局場合分けが発生してそこの処理が上手くいかないっすね。

本問は1973年の大阪外国大(現 大阪大学)から引用。
まあ阪大ですから、難しいですね。
(1)だけでもありがとうございます。
(2)も思いつきましたら,時間があればまた教えてください！