Question

ニック

(3)の赤線引いてあるところの変形がわからないので教えて欲しいです

13 奇偶で形が異なる漸化式
数列{an} を次の条件 (i), (ii)により定める。
(i) α = 1 である.
(i) =1.2.3, ··· に対し, "が奇数ならば 0%+1=-α+1, "が偶数ならば 0x+1=-20+3である
さらに, 数列{bn} をbn=a2n-1 により定め, 数列{cm} を Cm=az" により定める。 次の問いに答えまし
(1) az, as, as, as を求めよ.
(2) 数列{bn}, {cm}の一般項をそれぞれ求めよ.
(3) 自然数に対して, 数列{an}の初項から第 (2m-1)項までの和を Tm とする. T
(広島大・文系)
用いて表せ.
の奇偶で形が異なる漸化式は, "=2k-1, n=2kとおいて、奇数
奇偶で形が異なる漸化式
••••••) どうしに成り立つ漸化式, つまり、1 を で表す式を立てて解き, もとの漸化式に戻って
て azn を求める。
■解答量
(1)
=1
nが奇数のとき, an+1=an+1.
nが偶数のとき, an+1=-2a+3
① で n=1 として,=-α+1=0, ② でn=2として,
x=-2a+3=3
①でn=3として,,=-2+1=-2, ②n=4 として,αs=-2a+3=7
(2) by=azu-1 より bn+1=02n+1 であり、②のnを2にして.
bn+1=0zn+1=-2azw+3
①のnを2-1にすると,
@2n=-Q2n-1+1......
なので,③=-2(-2月-1+1) +3=24z-1+1
bm+1=2bm+1
bn+1+1=2(bm+1)
bn+1=2"-1 (by+1)
by==1より, bn=2"-1
④より、C=Q2=Q2月-1+1=-bx+1
=-2+2
(3) ④ より 2-1+02月=1なので、m≧2のとき
--'a₂=2(a₂-1 + a₂n) + a₂m-1= [ {1+bm
=(m-1)+(2m-1)=2"+m-2 (m=1のときもOK)
3)
奇数項についての漸化式
て奇数項を求める。
数項からすぐに分かるので
項についての漸化式は
要はない。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

aₙはnの偶奇で求め方が異なるので、
すべてのnまとめてではなく
n=1,3,5,…すなわちn=2m-1の和と
n=2,4,6,…すなわちn=2mの和に分け、
これらの和として処理します

このとき、mはどこからどこまで変化させれば
求めるTₘになるかも考えます
n=m-1まで足して、あとa_(2m-1)の場合のみΣに組み込めないことがわかるので、直後に別途足しています

実際赤線の2つ目の=の直後の式は
確かに求めるTₘになっていますね

ニック

なるほど！理解できました！
ご丁寧にありがとうございます！！