水)
重要 例題 81
②, ax+by=1
①, 4x+5y=1
異なる3直線 x+y=1
が1点で交わるとき, 3点 (1,1),(4,5), (a, b) は,同じ直線上にあること
を示せ。
共点と共線の関係
CHART & SOLUTION
2直線 ①,② の交点を求め,それが直線 ③ 上にあるための条件式を導く。
そして,2点 (1,1),(4, 5) を通る直線上に点 (a,b) があることを示す。
また、別解のように、 次の性質を利用する方法もある。
点(p, g) が直線ax+by+c=0 上にある
⇒ ap+bg+c=0
⇔点(α, b) が直線 px+qy+c=0 上にある
[解答
① ② を連立して解くと
x=4, y=-3
(4, -3)
よって, 2直線 ① ② の交点の座標は
この交点 (4,-3) は直線 ③ 上にもあるから
4a-3b=1
また, 2点 (1,1), (4, 5) を通る直線の方程式は
5-1
4-1
y-1=
④ から、x=a, y=6は4x-3y=1を満たす。
-よって, 点 (a,b) は, 直線 4x-3y=1 上にある。
→ したがって, 3点 (1,1),(4,5), (α, 6) は,同じ直線
4x-3y=1 上にある。
(x-1) すなわち 4x-3y=1
つまり
か ・1+g・1=1
か•4+g*5=1
patg•b=1
p = 0 または q≠0
であり
ゆえに, 方程式 px+gy=1
線を表し, ⑤⑦ から 3点 (1,1), (4,5), (a,b) は,
直線 ⑧ 上にある。
P RACTICE 81 ③
3
原点を通らない 3 直線 ①, ②, ③ が1点で交わるから,
その点の座標をP(p, g) とすると, Pは原点にはならない。 「p=0 かつ g=0」で
3 直線 ① ② ③ が, 点Pを通ることから
ない。
- (*)
p+g=1, 4p+5g=1, ap+bg=1
******
6
異なる3直線 x-y=1
で交わるとき, 3点(1,-1),(2,3)
①, 2x+3y=1
←44-36=1
②.
基本75
係数に文字を含まない
① ② を使用する。
3直線が1点で交わる
から2直線①,②の交
点が直線 ③ 上にもある。
3点が同じ直線上にあ
ることを示すには、2点
を通る直線上にもう1
点があることを示す。
art bu
⇔点(α, b) は直線
4x-3y=1 上にある。
･⑧ を考えると, ⑧ は直 (*) より 0 または
g≠ 0 であるから, ⑧t
直線を表す。
点 (4) が直線
x+y=1 上にある。
⇔ p+g=1
⇒点 (11) が直線
px+gy=1 上にある。
