Question

ぴひょ

数B漸化式
(3)について、3枚目の写真1行目のふたつの式はどのように導かれたのか分からなかったので教えていただきたいです。

☆3つがルーティーン
269 関数の列{f(x)} を次の関係式で順次定める。
fi(x)=x+1, fn+(x)=ト {(x−1)f(x)} (n=1, 2, 3, …)
☆微分してねという意味
d
dx
(1) ofz(x), f(x) を求めよ。
0
(2) すべての自然数nについて、f(x)が1次関数であることを示せ。
[17 関西大]
(3) fn(x)=anx+6m とおくとき, an, bn を求めよ。

269 (1)(x-1)/(x)=(x-1)(x+1)=x-1 であるから
(x-1)/2(x)=(x-1) 2x = 2x22x であるから
f(x)=(2x2-2x)=4x−2
d
dx
(2) [1] n=1のとき, f(x)=x+1は1次関数である。
[2n=kのとき, f(x) が1次関数であると仮定すると,
fn(x)=ax+bk a b は実数で1キ( とおける
このとき
d
f(x)=2x(x-1)=2x
dx
よって
(x-I)f(x)=(x-1)(ax+b)=ax2+(ba-akx-bk
d
fx+1(x) = (a₂x² + (b₂-a)x-be}=2ax +(b₁-an)
dx
0 であるから,k+1(x)は1次関数である。
[1] [2] から すべての自然数nについて, f(x) は1次関数である。
key 数学的帰納

164クリアー|日入日 受験編
よりは、2の等比数列であるから
よって an-】
ゆえに、(b)の列の一般項が2"であるから、#2のとき
1-(2-¹-1)-2-2-1
b₁ =b₁+2 (-2-¹)=1-
2-1
=1であるから、これはn=1のときも成り立つ。
したがって
b=2-2-1

数列