126 連続する整数の積の性質の利用
連続した2つの整数の積は2の倍数であることを証明せよ。
連続した3つの整数の積は6の倍数であることを証明せよ。
例題
基本例
nが奇数のとき, nは2の倍数であることを証明せよ。
なお, (2) では (1) の性質, (3) は (1), (2) の性質を利用してよい。
(1)(2) 連続した2つの整数には偶数が,連続した3つの整数には3の倍数が必ず含
指針
連続したn個の整数にはnの倍数が含まれる
治
以下,kは整数とする。
解答
(1) 連続する2つの整数をn,n+1とし,A=n(n+1) とする。
[1] n=2k のとき
A=2k(2k+1)
2(k+1)
[2] n=2k+1のとき
したがって,Aは2の倍数である。
(2) 連続する3つの整数をn-1, n, n+1とし,
B=(n-1)n(n+1) とする。
まれる。
この性質は証明なしに用いてもよいが,基本例題 125 と同じように考えてみよう。
(3)(1),(2)の性質が利用できるように, -n を変形する。
を因数分解すると
n³_n=n(n²−1)=n(n+1)(n-1)=(n−1)n(n+1)
00000
Hi
A=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1)
(1) より, 連続する 2 整数の積は2の倍数であるか
Bは2の倍数である。 ゆえに,Bが3の倍数であること
を示せば,Bは6の倍数であることが示される。
[1] n=3k のとき,Bは明らかに3の倍数である。
[2] n=3k+1のとき
n-1=(3k+1)-1=3k
[3] n=3k+2のとき
-=4{(k-1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)}
・基本 125
n³-n=4(6a+6b)=24(a+b)
1411
よって,nが奇数のとき,n-nは24の倍数である。
8155
連続する3つの整数を
n, n+1, n+2 として
もよい。
n+1=(3k+2)+1=3(k+1 )
よって, n, n-1, n+1のいずれかが3の倍数となるか
ら,Bは3の倍数である。
したがって, Bは6の倍数である。
(3) が奇数のとき, n=2k+1と表される。
n-n=(n-1)n(n+1)=2k(2k+1)(2k+2)される。
=4k(k+1)(2k+1)=4k(k+1){(k-1)+(k+2)} CERY
注意 (2) では, n を6k
6k+1, ..., 6k+5の6つ
に分類して考えることも
できるが,これは面倒。
晶検討
連続したn個の整数の
積は n! の倍数である
ことが知られている。
=k-1としてもよい。
(2) £ D, (k−1)k(k+1), k(k+1)(k+2) 122 1260) ◄(k-1)k(k+1),
倍数であるから, a b を整数とすると,①より
k(k+1)(k+2) はともに
連続する3 整数の積。
539
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