Question

Hi（受験生）

195.
変化率を求めるのになぜ微分が必要なのですか？？

306
ACX 00000
基本例題 195 変化率
(1) 地上から真上に初速度49m/s で投げ上げられた物体のt秒後の高さんは
h=49t-4.9t²(m) で与えられる。この運動について次のものを求めよ。た
し,vm/sは秒速vmを意味する。
(ア) 1秒後から2秒後までの平均の速さ (1) 2秒後の瞬間の速さ
(2) 半径 10 cm の球がある。毎秒1cm の割合で球の半径が大きくなっていくと
き球の体積の5秒後における変化率を求めよ。
p.296 基本事項)
指針 (1) 高さんは時刻tの関数と考えることができる。 h=f(t)=49t-4.9t2 とする。
(ア)平均の速さとは,平均変化率と同じこと。(んの変化量) ÷ (tの変化量)を計算。
(イ) 2秒後の瞬間の速さを求めるには 2秒後から2+b秒後までの平均の速さ (平均
変化率)を求め, 60 のときの極限値を求めればよい。 つまり、微分係数 f'(2)が
代入する。
t=2 における瞬間の速さである。
(2) まず,体積Vを時刻 tの関数で表す。これを V=f(t) とすると、5秒後の変化率は
t=5 における微分係数 f'(5) である。
(
COX SU
解答
(1)(ア)
(49･2-4.9.22)ー(49・1-4.9・12)
zp(x2-1
=34.3(m/s)
2)+(x)\
(イ) t秒後の瞬間の速さはんの時刻t に対する変化率であ
dh
=49-9.8t
dt
る。 hをtで微分すると
700-
求める瞬間の速さは, t=2として
~+734
49-9.8.2=29.4(m/s)
(2) t秒後の球の半径は (10+t) cm である。
t秒後の球の体積をV cm とすると
dV
dt
Vをtで微分して
求める変化率は, t=5として
練習
4
V=
½π(10+t)³
13.3(10+t)^1=4z(10+t)^{(ax+b)"'"
4 (10+5)^2=900(cm²/s)
3
tがaから6まで変化する
ときの関数 f(t) の平均変
化率は
f(b)-f(a)
b-a
ば,関数h=f(t) の導関数 f'(t),
とを,変数を明示してをtで微分するということがある。
dh
dt
参照。h'=49-9.8t と書い
してもよいが,
dh
と書くと
dt
関数h をtで微分してい
ることが式から伝わる。
<
については、下の注意
注意 変数がx, y以外の文字で表されている場合にも,導関数は今までと同様に取り扱う。
charf(t)などで表す。また,この導関数を求める。
例え
V20x
=n(ax+b)²-¹(ax+b)
(1) 地上から真上に初速度 29.4m/sで投げ上げられた物体のt
100t-4912(m) で与えられる。 この運動につ
t秒後の高さんは

Answer 1

冒昧

常に変化率が一定なら、変化の割合みたいに計算できますが、そう出ない可能性がある以上は微分する必要があります。
そもそも、(x1,f(x1))から(x2,f(x2))への変化率とは、
lim[x2→x1] (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f'(x1)
と定められていますから、これに従う他ありません。