Question

ココア

至急解説お願いします

) 数列 12, 12+22, 12+22 + 32, 12+22 +32 +42,
初項から第n項までの和を求めよ。
の

Answer 1

✨ Best Answer ✨

mo1

参考・概略です

　ａ[n]＝1²＋2²＋3²＋4²＋・・・＋(n－1)²＋n²　で

●平方数の和なので、公式(1/6)n(n＋1)(2n＋1)を用いて

　ａ[n]＝(1/6)n(n＋1)(2n＋1)

●Σを用いて【★k＝1～nを省きます】

　Ｓ[n]＝Σ(1/6)k(k＋1)(2k＋1)

　　　＝(1/6)Σk(k＋1)(2k＋1)

　　　＝(1/6)Σ2k³＋3k²＋k

　　　＝(1/6){Σ2k³＋Σ3k²＋Σk}

　　　＝(1/6){2Σk³＋3Σk²＋Σk}

●Σの公式　を用いて
　　2Σk³＝2・{(1/2)n(n＋1)}²＝2・(1/4)n²(n＋1)²＝(1/2)n²(n＋1)²
　　3Σk²＝3・(1/6)n(n＋1)(2n＋1)＝(1/2)n(n＋1)(2n＋1)
　　Σk＝(1/2)n(n＋1)

　Ｓ[n]＝(1/6){(1/2)n²(n＋1)²＋(1/2)n(n＋1)(2n＋1)＋(1/2)n(n＋1)}

　　　 ＝(1/12)n(n＋1){n(n＋1)＋(2n＋1)＋1}

　　　 ＝(1/12)n(n＋1){n²＋n＋2n＋1＋1}

　　　 ＝(1/12)n(n＋1){n²＋3n＋2}

　　　 ＝(1/12)n(n＋1)(n＋1)(n＋2)

　　　 ＝(1/12)n(n＋1)²(n＋2)　　

確認
　Ｓ[1]＝(1/12)(1)(1＋1)²(1＋2)＝(1/12)×1×2²×3＝1
　Ｓ[2]＝(1/12)(2)(2＋1)²(2＋2)＝(1/12)×2×3²×4＝6
　Ｓ[3]＝(1/12)(3)(3＋1)²(3＋2)＝(1/12)×3×4²×5＝20
　Ｓ[4]＝(1/12)(4)(4＋1)²(4＋2)＝(1/12)×4×5²×6＝50

　ａ[1]＝1²＝1
　ａ[2]＝1²＋2²＝5
　ａ[3]＝1²＋2²＋3²＝14
　ａ[4]＝1²＋2²＋3²＋4²＝30

　Ｓ[1]＝1
　Ｓ[2]＝1＋5＝6
　Ｓ[3]＝1＋5＋14＝20
　Ｓ[4]＝1＋5＋14＋30＝50