2章
7 空間のベクトル、ベクトルの成分
基本 例題 52 ベクトルの大きさの最小値(2)
00000
座標空間に原点 0 と点A(1,2,3), B2, 0, 4), C(3,-1, 5)がある。この
とき, ベクトル OA+xAB+yACの大きさの最小値と,そのときの実数 x, y の
値を求めよ。
指針
①
70-
OA+xAB+yAC2 の最小値を調べる。
はとして扱うに従い,
基本51
|OA+xAB+yAC|はxyの2次式となるから、まずは一方の文字について平方完
成し、次に残りの文字について平方完成を行う。
CAD
解答
よって
OA+xAB+yAČ
=(1,-2,3)+x(1,2,1)+y(2, 1, 2)
=(1+x+2y, -2+2x+y, 3+x+2y)
|OA+xAB+yAČ|
=(1+x+2y)2+(-2+2x+y)+(3+x+2y)
=6x2+12xy+9y2+12y+14
まず、成分で表す。
$0
大
=6(x+y)²+3y²+12y+14
=6(x+y)+3(y+2)+2
ゆえに,|OA+xAB+yAČ| は x+y=0 かつ y+2=0
すなわち, x=2, y=-2のとき最小値2をとる。
|OA+xAB+yAC|≧0であるから,|OA+xAB+yAČ
=(x, y, z)のとき
1=x2+y2+22
|6x2+12xy=6(x2+2xy)
に注目し,
6x2+12xy+9y2
=(6x2+12xy+6y2)+3y 2
と変形。
(実数) 0
が最小のとき |OA+xAB+yAC|も最小となる。日
したがって, OA+xAB+yAC | は
JA 最小値 2乗
x=2,y=-2のとき最小値√2 をとる。
