Question

那津

|a| < 1, |b|<1, |c|<1, |d| < 1 のとき、次の不等式を証明せよ。 (1) a+b<1+ab (2) a+b+c+d<3+abcd 分かる方、教えてください。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

あ

(1)(右辺)-(左辺)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1)
|a|<1よりa-1<0、|b|<1よりb-1<0
よって(a-1)(b-1)>0
なので(右辺)-(左辺)>0
∴a+b<1+ab

(2)|a|<1、|b|<1より|ab|<1。また|c|<1、|d|<1より|cd|<1。
(1)においてaをab、bをcdとおくと
ab+cd<1+abcd･･･①が成り立つ。
また(1)より
a+b<1+ab･･･②が成り立ち、
c+d<1+cd･･･③も成り立つ。
②+③より
a+b+c+d<2+ab+cd
これに①を代入すると
a+b+c+d<3+abcd
が成り立つ。