Question

ほのたそ

(ii)の、突然≧がでてくるところがわかりません。何故このような流れになるのか教えていただけると助かります。

6
a を正の定数とする。 自然数nに対して次の不等式がなりたつことを数学的
帰納法を用いて証明せよ。
(a+2)*≧na +2
(8)

6
解答 (a+2)"≧na+2をAとおく。
(i) n=1のとき
(左)=(a+2)'=α+2
(Aの右辺)=1α+2=α+2立
(Aの左辺) = (Aの右辺)
よって, Aはn=1のときに成り立つ。
(ii)=k(kは自然数) のとき, Aが成り立つと仮定する。
すなわち
(a + 2)≧ka+2
が成り立つと仮定する。
(a + 2) k+1≧ (k + 1)α+2であることを示す。
(a + 2) * +1 -{(k +1)α +2}
= (a+2) (a+2)-{(k+1)a+2}
≧ (a+2) (ka+2) - {(k + 1)a+2}
=ka2+2 (k+1)α+4- (k+1)a-2
=ka2+ (k+1)α+2
αは正の定数で, kは自然数であるから
よって
ka²+ (k +1)a +2> 0
(a +2) +1≧ (k+1)a+2
すなわち, n=kのときAが成り立つと仮定すると, n=k+1のときAは
成り立つ。
以上, (i), (ii)から, 数学的帰納法により, すべての自然数nについて
(a +2)"≧na+2
が成り立つ。
(証明終)

数学的帰納法 不等式

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

仮定(a+2)ᵏ≧ka+2を使っています
数学的帰納法では仮定を必ず使います

(a+2)×(a+2)ᵏ - ……
の(a+2)ᵏを、それ以下のka+2に取り替えれば、
（a+2が正なので）
式全体としては「より以下」になります

そのあと、
「もとの式以下」になった式が0より大きいといえれば、
もとの式も0より大きいといえますね