Question

トリセツ

(3)の解説の①式の後の3行の説明が分かりません

B7 関数 f(x) = ax + bx2 +1 があり、f'(-2) = 0 を満たしている。また, y=f(x)の表
すグラフをCとし,C上の点 (t,f(t)) におけるCの接線を l とする。 ただし, a, b は定数
で,a>0 とする。
(1) f (x) を求めよ。 また, bをαを用いて表せ。
(2) a=1のとき、 接線の傾きが9となるようなtの値を求めよ。 また、 そのときの接線
lの方程式を求めよ。
(3) (2,3) を通る接線が, ちょうど2本存在するようなαの値を求めよ。 (配点 40)

(3)
(1)より, 6=3aであるから
f(x)=ax2+3ax2+1
f'(x) =3ax2+6ax
したがって、接線 l の方程式は
y-(at3+3at2+1) = (3at² +6at) (x-t)
すなわち
y=(3at2+6at)x-2at-3at2+1
これが点 (23) を通るので
3=2(3at²+6at)-2at³-3at²+1
つまり
2at3-3at2-12at+2=0
①
3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線は異なるから, 方程式 ①が異
なる実数解をちょうど2個もつとき, 点 (2,3) を通る接線はちょうど2本
存在する。.
g(t)=2at-3a2-12at+2 とおくと
g'(t)=6at-6at-12a=6a(t+1)(t-2)
α > 0 より 関数g(t) の増減は次のようになる。
t
-1
***
2
g'(t)
+
0
-
0
+
g(t)
> 7a+2
-20a+2 7
方程式 ①が異なる実数解をちょうど2個もつことは,関数y=g(t)のグ
ラフとt軸が異なる2点で共有点をもつことと同値であり,そのための条件
7+2=0 または20a+2=0←どっちかが0とする
は増減表より
すなわち a=-22 または
or
または α =
10
α > 0 より
(極大)×(極小)が0と
a=
1
10
a=10

微分積分

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きぃ

tは接点のx座標としています。

ということは、tの数は接点の数です。つまりは接線の数となります。

ですので、接線が二本になるには、tの方程式が異なる2実解をもてばいいということです。