Question

そら

(3)です。なぜこの式になるのかわかりません。

4 (配点率 25%)
箱の中に赤い硬貨1枚と白い硬貨η枚 (n≧1)が入っている. 箱を1回振ると硬
貨が1枚箱から出てきて、表か裏になる. 2人の子供がこの箱を使って、以下のよ
うなゲームを行う.ただし,以下の試行で出てきた硬貨は箱に戻さない.
まず、 どちらかの子供が箱を振り
場合1 出てきた硬貨が赤い硬貨であれば, 箱を振った子供を勝者とし, ゲーム
は終了する.
場合2 出てきた硬貨が白い硬貨でかつ表のとき, 箱を振った子供が続けてもう
一度箱を振る.
場合3 出てきた硬貨が白い硬貨でかつ裏のとき, 交代してもう一人の子供が
箱を振る.
硬貨の出方に従って, 場合 1~場合3をどちらかの子供が赤の硬貨を出すまで繰
り返し、勝者を決める. 白い硬貨がn枚のとき、最初に箱を振った子供が勝つ確
率を Pn, もう一人の子供が勝つ確率を Qn として 以下の問いに答えなさい.
(1) P1 Q1 をそれぞれ求めなさい.
(2)P3 Q3 をそれぞれ求めなさい.
(3) Pn と Qnをそれぞれn の式で表しなさい.

(2)(1) PH の成分を求めているので容易である。
(3) 4点が同一平面上に存在する条件を用いる。
(4) P,Qの座標P (1, 0, p), Q (0, 1, g) xとyの座標が入れ替
わっているだけなので, QH を求める計算式が (1) (2)のPHを求める
計算式と同様であることに気づきたい。
四角形 OPCQ の面積は,三角形に分割して求め, (3)の結果を用いること
により, 2次関数の最大・最小の問題に帰着する。
53
=1-
88
3
(答)
ゆえに P3=
(3) 1回目に赤い硬貨が出たときは,最初に箱を振った子供が勝つが, 1
回目に白い硬貨が出たときは、 2回目以降で勝つ確率は, 両者とも同じ確
率であるので
4 解答
(1) 最初に箱を振った子供が勝つのは,以下の通り。
(i) 赤い硬貨が出る。
(ii) 白い硬貨でかつ表が出て, 赤い硬貨が出る。
111
3
P1=2+22
+- -x-x1=
4
よって,もう一人の子供が勝つ確率は
31
Q=1-P1=1-
=
44
ゆえに P1=2, Q1 1/1
1
P₁ =
+
n 1
n+1 n+1
n+2
2(n+1)
×
2
よって
Qn=1-P
=1--
n+2
2(n+1)
2(n+1)-(n+2)
2(n+1)
n
(2) 最初に箱を振った子供が勝つのは、以下の通り。
(i) 赤い硬貨が出る。
(i) 白い硬貨が1回出て, 赤い硬貨が出る。 このとき, 白い硬貨は表が出
る。
() 白い硬貨が2回出て, 赤い硬貨が出る。 このとき,白い硬貨は表が2
回,または,裏が2回出る。
(iv) 白い硬貨が3回出て, 赤い硬貨が出る。 このとき, 白い硬貨は表が3
回,または,表が1回 裏が2回出る。
X-
P312+(1/2×1/2×1/2)+2×12×1/2x/x/x/12)
+ 4x
/3 12 11
×
2-3
-X
12
12
22
×1)
2(n+1)
ゆえに P=
n+2
2(n+1)
n
Q=
2(n+1)
(
解説 《繰り返し硬貨を箱から出すときの勝つ確率≫
(1) 出てきた硬貨は箱に戻さないことに留意し、 勝つ場合を書き出す。
(2) 出てきた白い硬貨の枚数と,そのときの表, 裏の出方に留意し,勝
場合を書き出す。
(3) 2回目以降に勝負がつくとき, 両者の勝つ確率が等しいことに気づ
たい。
5 解答 (1) =
COS
n
2πk\2
k 2лk\
+ -sin
n
n
k
=
(A) (cos2
COS
2лk
n
+ sin 2.
2лk
n
よって
=-
5-84
Q3=1-P3
n

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

遷移図を描くとわかりやすいかと思います
つねに、引く人が王手（赤さえ引けば勝ち）の状況です

「赤を出す確率+白を出して勝つ確率」が答えです
白を出すと、次が自分のターンか相手のターンかは、同じ確率です
白を出して勝つ確率は「1-(赤を出す確率)」の半分です