Question

波瑠

微分の問題です。青い線で囲ったところ(最高次の項が~)が分からないので解説お願いします。

次の条件 (A), (B) をともに満たすような, 多項式で表された関数 f(x) がある
f(x) は2次式であることを示し, f (x) を求めよ。
(A) f(0)=0
(B) (x+1)f'(x)=2f(x)-4

f(x) が定数関数であるとすると
f'(x) = 0
このとき, (B) において x=0 とすると
左辺 = 0
更に, (A) より 右辺 =-4
よって, f(x) が定数関数のとき, 条件 (A), (B)
を満たさないから不適。
f(x) の最高次の項を ax” (a≠0, nは自然数)と
する。このとき
(x+1) f'(x) の最高次の項は
xnaxn-1
すなわち nax"
2f(x) 4の最高次の項は
2ax"
これらが一致するから, 係数を比較して
na=2a
a≠0 であるから n=2
ゆえに、f(x)は2次式である。
よって, f(x)=ax2+bx+c (a≠0) とおける。
f'(x) =2ax+bであるから, (B) により
(x+1)(2ax+b)=2(ax2+bx+c) - 4
整理すると (2a-b)x+b-2c+4 = 0
これがxについての恒等式であるから
2a-b=0b-2c+4=0
また, (A) から c=0
①

このとき,①から b=-4,a=-2
ゆえに
(これはα≠0 を満たす)
f(x)=-2x2-4x

Answer 1

✨ Best Answer ✨

🍇こつぶ🐡

画像参照

波瑠

理解出来ました。解説ありがとうございます。

Answer 2

和

f(x)の次数を求めるときのよくある流れです
丁寧に書いてありますが、
その何がどのようにわからないか、
具体的に教えてください