Question

Mikuro

導関数の問題です。

増減表までは何をやっているかわかるのですが、
その後の式がどこから持ってきたのかわからないので教えていただきたいです。

よろしくお願いします🙇‍♀️

B, Y
題 237
y=k
239
●方程式の実数解の個数〔2〕･･･定数項以外に文字★★☆☆
D
3次方程式 2x9px2+12px-20p2 = 0 が異なる3つの実数解をもつ
しょうな定数の値の範囲を求めよ。
例題237との違い・・・ 方程式を f(x)=pの形にしにくい。
図で考える
0
2つの極値が異符号
とx軸(y=0)が3つの共有点をもつ。
曲線y=
+
極大
(
極小
Action » 3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件は、 (極大値) × (極小値) < 0 とせよ
f(x)=2x-9px2+12px-20p とおくと
f'(x)=6x2-18px+12p2 =6(x-1)(x-2D)
f(x) = 0 とすると
(7)p=0のとき
x = p,2p
f'(x) =6x2 ≧0より, y = f(x) のグラフは常に増加
し、x軸との共有点は1つである。
よって、f(x) = 0 の実数解は1つであり,不適。
(イ)=0 のとき,f(x) の増減表は次のようになる。
p>0のとき
X
...
Þ
f'(x) + 0
...
2p
0 +
p < 0 のとき
X
...
f'(x) +
2p
0
...
0 +
f(x) f(b)f(2p) f(x) f(2p) f(p) /
f(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつのは,極大値と
極小値が異符号のときであり f(p)f(2p) <0
よって (5p3-202) (4p³ - 20 p²) <0
20p (p-4)(p-5)<0
カキ0より 0 であるから 4 <p < 5
(ア)(イ)より求める』の値の範囲は 4 <p <5
Point.. 3次関数の極値の符号と3次方程式の実数解の個数
左辺を f(x) とおき,
f(x) の極値を求める。
p = 0 のときは, 極値を
もたない。
の符号によって大・
極小となる点のx座標が
入れかわる。
f(p) f(p) のどちら
が極大値であるかは,考
える必要がない。
p0 であるから
(-4)(-5)<0
3次関数 f(x)がx= α, B で極値をとるとき、方程式 f(x) = 0 の異なる実数解の個数は
のとき1個
(イ) 極値の一方が0
すなわち f(a)f(B)=0
(ア) 極値がともに正か負
すなわち f(α)f(β) > 0
のとき2個
a
a
a
a
x
(ウ) 極値が異符号
すなわち f(a)f (B) <0
のとき3個
A
a
5章
14
導関数の応用
E
実数解をもつよ

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

「f(p)が+でf(2p)が-」
または「f(p)が-でf(2p)が+」

を、ひとつにまとめて
「f(p)とf(2p)は異符号」
つまり
「f(p)f(2p)<0」
と言い換えるのがポイントです