Question

優葉

(5)の解き方を教えてください🙏

辺 AB と CD の長さが8, 辺BCとDAの長さが9の長方形ABCD がある。この長方形の中に互い
に外接する2つの円0, 0' がある。 円Oは辺ABとDA, 円 O'は辺BC と CDに接している。ここ
で,円0の半径をx, 円 0′の半径を円と円′の面積の和をSとする。 また,円0の中心を通
り辺ABに平行な直線と円 0′'を通り辺BCに平行な直線の交点をHとする。このとき,以下の問いに
答えよ。
(1) OH を x,yを用いて表すと, OH =
ア
である。
8-x-y
(2) OHをx,y を用いて表すと, O'H =
イ
である。
(3)x+y=
ウ である。
(4)Sの最小値は
エ
である。
(5) Sの最大値は
オ
である。
-x-
25
2

Answer 1

✨ Best Answer ✨

希

(4)までの情報は既知として説明します。
S = π(x² + y²)、x + y = 5が得られています。
これらの条件に加えて1 ≦ x ≦ 4が成り立ちます。
理由は、円Oについて、円Oが長方形ABCDからはみ出してはいけないので円Oの直径は長方形の2辺の長さ以下にならないといけません。よって2x ≦ 8かつ2x ≦ 9となり、これを解くとx ≦ 4となります。同様に円O'に関してもy ≦ 4が成り立ちます。
いま、x + y = 5なので、y = 5 - xとなりy ≦ 4から
5 - x ≦ 4すなわちx ≦ 1が得られます。以上から1 ≦ x ≦ 4が成り立ちます。
S = π(x² + y²) = 2π(x - 5/2)² + 25π/2
から、軸はx = 5/2であることが分かります。この2次関数は1 ≦ x ≦ 4の範囲でx = 1,4の時に最大となることが分かります。
よって最大値はx = 1,4のときに17πとなります。