Question

り

このような問題の際、微分しなきゃ！！っていう頭になれないのですが、どうして微分をするのですか、？

を求めよ。
本事項 3
て 最
注意。
へ。
-3
-1
である
を含ま
二値, 最
いこと
いて
る。
1187 最大最小の文章題(微分利用)
日本 例題
00000
半径6の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ。 また、そのときの直
円柱の高さを求めよ。
&
CHARTL
文章題の解法
SOLUTION
最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ
円柱の高さを、例えば2t とすると計算がスムーズになる。
数のとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。
このとき、直円柱の底面の
半径は62-12,
面積は(√62-12 (36)
したがって、円柱の体積はtの3次関数となる。
円柱の高さを2t とすると
直円柱の底面の半径は
基本 186
06
✓62-12 三平方の
◆三平方の定理から。
ここで、直円柱の体積をyとすると理
y=x(√36-t2)2.2t
(36-12)・2t=2z(36t-13)
tで微分すると
y=2(36-3t2)=-6(-12)
=6(t+2√3)(t-2√3)
0<t<6 において, y' = 0 となるの
t=2√3 のときである。
(直円柱の体積)
=(底面積)×(高さ)
295
6章
dy
√62-12
dt
をy' で表す。
21
と端
と端
よって, 0<t<6 におけるy
の増減表は右のようになる。
t
0
...
2√3
...
6
定義域は 0<t<6 であ
y'
+
I
0
-
ゆえに,y t=2√3 で極
y
>
極大
大かつ最大となり,その値は
2362√3-√3)}=22√3(36-12)=96√3
また、このとき,直円柱の高さは
したがって
2.2√3 =4√3
最大値 96√3 π, 高さ 4√3
るから, 増減表の左端,
右端のyは空欄にして
おく。
t=2√3 のとき
√6212=2√6
よって、 直円柱の高さと
底面の直径との比は
4√3:4√6=1:√2
関数の値の変化
PRACTICE 187
曲線 y=9-x^ とx軸との交点をA,Bとし, 線分AB と
この曲線で囲まれた部分に図のように台形ABCD を内接
させるときこの台形の面積の最大値を求めよ。 また, そ
のときの点Cの座標を求めよ。を定め
y
9
D
C
881
ZA
0
B x

296
基本 例題 188 三角関数の最大・最小 (微分利用)
[弘前大
0≦x<2 のとき, 関数 y=2cos2xsinx+6cos'x+7sinx の最大値と最小
値を求めよ。 また、そのときのxの値を求めよ。
CHART & SOLUTION
2倍角を含む三角関数
1つの三角関数で表す
基本 125 188
MONTUJO 20
125.188
2倍角の公式 COs2x=1-2sin'x, 相互関係 sin'x+cos'x=1 を用いて, sinxだけの
なお、tの変域はxの変域とは異なることに注意。 (p.204 基本例題125 参照)
で表す。 sinx=t とおくと, ytの3次関数となる。
解答
y=2cos2xsinx+6cos'x +7sinx
=2(1−2sinx)sinx+6(1−sinx)+7sinx
=-4sinx-6sin'x +9sinx+6
sinx=t とおくと, 0≦x<2であるから
ytの式で表すと, y = -4t-6t+9t+6 であり
9
y'=-12-12t+9=-3(4t2+4t-3)
=-3(2t-1)(2t+3)
y'=0 とすると, -1≦t≦1 から
t=
12
120 12
1
おき換えによって、とり
うる値の範囲も変わる。
y
17最大
2
-1≦t≦1 におけるyの増減
表は右のようになる。
t
よっては
+
17
極大
0=
y
-5
→
17
最小
t=1/2で最大値-
t=-1 で最小値 -5
をとる。
0≦x<2であるから
t=
1/1/2 のとき x=///
t=-1
π 5
6'6"
3
π
1=1のとき x=2/2
したがっては,
基本 例題
a>0
が15,
CHART
最大・最
増減表
① 導関
② 最大
最小
なお,本
の符号の
解答
f(x)=
よって
f'(x)=
a>0
ように
0111
21
=1/2から
π 5
π
x=
oesinx=-15
最大値
a>0
よっ
① また,
ゆえ
②を
これ
した
(sinx=-
であり、 3
x=
5
17
x=201212xで最大値 1/2ix=02/21πで最小値 5
をとる。
PRACTICE 188
0≦0≦2 で定義された関数 f(6)=8sin-3cos20-12sin0+7の最大値、最小
値と,そのときの8の値をそれぞれ求めよ。
[東京理科大]
PRA
f(a
であ

310
基本 例題 198 不等式の証明(微分利用)
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1) x≧0 のとき x>3x2-5
(2)x>0 のとき x-3x²+4x+1>0
基本 186, p.306 基本事項 2
CHART & SOLUTION
不等式f(x)>g(x)の証明
① F(x)=f(x)-g(x)の最小値} >0
2 常に増加ならば出発点で 0
(1) 大小比較は差を作るにしたがって, xー(3x2-5)>0 を証明する。 それには, 関数
f(x)=x-3x2+5 の値の変化を調べ, その (最小値) > 0 を示す。
(2) 常にf'(x)>0であるから,②の方針で解く。
解答
(1) f(x)=x-(325) とすると
f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)
+
x=(x)=-=(x
yy=f(x)
f(x)=(左辺)(右辺)
とする。
f'(x) =0 とすると
x=0,2
x0 における f(x) の増減表は
次のようになる。
定数
5」
最小値0
重要
x≥
よ。
CH
fl
極
1
x 0
....
2
0
21(木) 1
f'(x)
0 +
f(x) 5
|極小
>
1
よって, f(x) は x≧0のとき x=2で最小値1をとる。
ゆえに, x=0のとき
(最小値) > 0
f(x)>0 つときは、
>0
(2)f(x)=x-3x²+4x+1 とすると
したがって,x≧0 のとき x>3x²-5 が成り立つ。
f'(x)=3x²-6x+4=3(x-1)2+1
y=f(x)
よって,常に f'(x)>0
ゆえに,f(x)は常に増加する。
[S] 16
(x-1)20であるから
f'(x)≥1>0
f(0) =1>0 であるから,
x>0 のとき
f(x)>f(0)>0
出発点でf(x)>0
0
x
すなわち, x>0
x-3x²+4x+1>0 が成り立つ。
0>a
PRACTICE 1989
次の不等式が成り立
(8)(四
E

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

関数の最大最小を考えたい
→関数のグラフさえ描ければ、見ればわかる
→グラフを描く一つの方法は微分

です

不等式f>0を示すということは、
y=fのグラフがy=0(x軸)より上にあるような
ところを見る、ということなので、
やはりグラフを描きたくなります