Question

波瑠

数3極限の問題です。(2)でx＝0の場合は解説に書かれていませんが、考える必要がないということですか？

|r|<1 のとき limnr"=0 である。 このことを利用して,次の無限級数の和
n→∞
を求めよ。 ただし, x|<1 とする。
*(1) + + ・+
1 2 3
n
+
3 9 27
3n
(2)1+2x+3x2+..
n-1
+nx+.･･･

(2) S„=1+2x+3x2+
+nx"-1
xSm=x+2x2+3x3+... + nx"
辺々引くと
Sn-xS„=1+x+x2+. +xn-l-nx"
よって, x<1より x=1であるから
1-xn
(1-x)Sn=
-
nxn
1-x
ゆえに Sm= =
1-x" nxn
-
(1-x)21-x
<1であるから limx"=0,lim nx" = 0
814
n→∞
したがって、 求める和は lim Sn
1
=
8111
-
(1-x)2

Answer 1

✨ Best Answer ✨

フラッグ

x=0かどうかは、本問のばあい問題ではないということです。｜x｜<1であればよいのです。質問はどうぞ。

フラッグ

実際、本問ではx=0を代入して分母が0になる箇所がありませんね。

波瑠

数列の時と同様に x＝0の場合も考えると思っていました。解説ありがとうございます。