Question

Keisuke Honda

［71］の解答で、増加するための条件は0≦x≦1のとき、f’(x)≧0 ではなく、0<x<1の時、f’(x)≧0としているのは何故なのかをこの前、質問したところ、定義域の端では微分が出来ないから。
という解答をいただき、その時は納得したのですが、［72］の解答を見ると、f(x)が-1≦x≦1で、極大値と極小値をもつ⇔ f’(x)=0が区間-1≦x≦1に異なる二つの実数解をもつ…①
と書いてありました。［72］の①では、なぜ-1<x<1ではなく、-1≦x≦1なのですか。

微分

Answer 1

✨ Best Answer ✨

希

今回の問題のような3次関数では、開区間と閉区間のどちらにしても問題ありません。例えば[71]の解答で、
0 < x < 1においてf'(x) ≧ 0
ではなく
0 ≦ x ≦ 1においてf'(x) ≧ 0
としても大丈夫です。所詮3次関数なので、どこでも微分可能性は保証されています。しかし、例えばf(x) = |x|を考えてみると、[0,1]では常に増加しています。数IIIをやっていないと分からないと思いますが、f(x) = |x|はx = 0では微分不可能です。なので、微分が出る時は開区間で考えなければなりません。

それに対して、[72]では同値変形の部分で微分が出てきません。例えばf(x)がx = 1と他の-1 < c ≦ 1で2つの異なる実数解を持つとf(x)はx = 1,cで極値を持ちます。これでも問題の条件を満たしています。なので、[72]では閉区間にしないといけません。

Keisuke Honda

ありがとうございます。

Answer 2

ととろ

区間の端と定義域の端は違うものです
71、72どちらも定義域は全ての実数です

Keisuke Honda

ご回答ありがとうございます。では、71の解答で、0≦x≦1のときf’(x)≧0 とはならないのは、何故なのですか。

ととろ

解説を書いた人の気分でしょう
定義域の場合とは異なり、ここでは数学的に厳密に意味があるとは思えません
実際、その後の説明に
f'(0)≧0
f'(1)≧0
としていますので

Keisuke Honda

ありがとうございました。