Question

伊莎貝拉

請問這題的D為什麼是對的a4=4/3？

Answer 1

✨ Best Answer ✨

qn

3aₙ₊₁ = aₙ + n
同乘以 3ⁿ
3ⁿ⁺¹aₙ₊₁ = 3ⁿaₙ + 3ⁿn

如果 3ⁿaₙ 是正整數
從這個式子可以看出 3ⁿ⁺¹aₙ₊₁ 也會是正整數

a₁ 本身就是正整數
很容易用數學歸納法證明 3ⁿaₙ 都會是正整數
(也不用實際證明，總之知道這個理由就可以得出結論了)

qn

另外

從 aₙ 的遞迴式很難找出通式
那其實 bₙ 就是要引導你可以找到通式的

把 aₙ 用 bₙ 表示
aₙ = bₙ + n/2 - 3/4
aₙ₊₁ = bₙ₊₁ + (n+1)/2 - 3/4
代入遞迴式
3bₙ₊₁ + (3/2)(n+1) - 9/4 = (bₙ + n/2 - 3/4) + n

化簡
3bₙ₊₁ + (3/2)n - 3/4 = bₙ + (3/2)n - 3/4
3bₙ₊₁ = bₙ

所以 bₙ 是等比數列，公比為 1/3
而且首項 b₁ = a₁ + 1/4 = 9/4

由此可以寫出 bₙ 的通式
bₙ = (9/4) × (1/3)ⁿ⁻¹

代回 aₙ = bₙ + n/2 - 3/4
aₙ = (9/4) × (1/3)ⁿ⁻¹ + n/2 - 3/4

伊莎貝拉

可是為什麼a4是算出來4/3 它不是正整數

qn

還要乘以3ⁿ啊

伊莎貝拉

喔喔喔 這樣我知道了 謝謝！