Question

QAQ

排列

P"
@演練3
"
AX (n-1)
已知P:P+2=5:12,求正整數的值。
n
(n+z)!
(n-3)!
(n-1)!
5.12.

Answer 1

qn

關鍵是把階乘相消

n! = 1 × 2 × ... × (n-3) × (n-2) × (n-1) × n
(n-3)! = 1 × 2 × ... × (n-3)
所以
n! / (n-3)! = (n-2)(n-1)n

同理
(n+2)! / (n-1)! = n(n+1)(n+2)

接下來就是解多項式方程式了

12n(n-1)(n-2) = 5n(n+1)(n+2)
因為 n > 0 所以可以除掉
12(n-1)(n-2) = 5(n+1)(n+2)
12(n²-3n+2) = 5(n²+3n+2)
7n²-51n+14 = 0
(7n-2)(n-7) = 0
因為 n 是正整數，所以 n = 7

qn

註：用上面階乘相消的想法，Pⁿₖ可以直接解釋成「從n往下數k個整數相乘」