456
重要 例題 32 格子点の個数
1000
標がともに整数である点)の個数を求めよ。 ただし,n
(2) x≥0, y≤n², yx²
(1)x≧0, y≧0, x+2y≦2n
xy 平面において,次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点(x座
指針「不等式の表す領域」は数学Ⅱの第3章を参照。
nに具体的な数を代入してグラフをかき, 見通しを立ててみよう。
自然数とする。
(1)領域は,右図のように,x軸,y軸,直線
y
解答
y=-
1/2x+
x+nで囲まれた三角形の周および
n-14
内部である。
(x=2n-2y)
457
YA
直線y=k(k=n, n-1, ......, 0) 上には
(2-2k+1) 個の格子点が並ぶ。
0
1
(2n-2k+1)=(2n-2.0+1)+2(-2k+2n+1)
YA
(1) n=1のときg-xtdn=2のとき y=x+2n=3のとき
よって, 格子点の総数は
x+2y=2・2
x+2y=2.1
-16
ya
=x+2y=2.3.
3
-20
-10
x
2+5
具体化
n=2のとき 1+3+5=9,
2-7
n=1のとき 1+3=4,
n=3のとき 1+3+5+7=16
一般(n)の場合については,境界の直線の方程式 x+2y=2n から x=26
よって、直線y=k(k=n, n-1,......, 0) 上には (2n-2k+1) 個の格子点か
から,(2n-2k+1)において,k=0, 1, nとおいたものの総和が求める
k=0
=2n+1-2・・
-2.n(n+1)+(2n+1)n
=n2+2n+1
=(n+1) (個)
別解 線分x+2y=2n (0≦y≦n)
上の格子点 (0, n), 2, n-1),
..... (2n, 0) の個数は n+1
4(0, 0), (2n, 0), (2n, n),
(0, n) を頂点とする長方形の周
および内部にある格子点の個数は
(2n+1) (n+1)
2n-21 2n
2n-1
k=0 の値を別扱いにし
たが,
-2k+(2n+1)1
=-2.n(n+1)
+(2n+1)(n+1)
ya
-x+2y=2n
でも
ゆえに, 求める格子点の個数を Nとすると
2N-(n+1)=(2n+1)(n+1)
②の方針
長方形は, 対角線で2つ
の合同な三角形に分けら
(n+1)個
れる。
よって
(求める格子点の数) ×2
-(対角線上の格子点の数)
=(長方形の周および内
部にある格子点の数)
1
章
3種々の数列
9
195
2g
となる。
(2) n=1のとき
n=2のとき
n=3のとき
-y
y=x2+
-y
y=xl
-YA
よって N= =1/2(2n+1)(n+1)+(n+1)}
y=x2
-9
=12(n+1)(2n+2)=(n+1) (個)
19
10
to
YI
-4
n
.
-1-
0
-0
(2) 領域は, 右図のように, y 軸, 直線 y=n2, 放物線
y=x2 で囲まれた部分である (境界線を含む)。
直線x=k (k=0, 1, 2,......, n) 上には,
y
y=x²
n²
0
n=1のとき
n=2のとき
n=3のとき
(1−0+1)+(1-1+1)=3,
(4−0+1)+(4-1+1)+(4-4+1)=10,
(90+1)+(9-1+1)+(9-4+1)+(9-9+1)=26
一般 (n) の場合については, 直線x=k (k=0, 1, 2, n-1,n)上には
22+1) 個の格子点が並ぶから,'+1 において,k=0,1,·····とお
いたものの総和が求める個数となる。
また、次のような図形の対称性などを利用した別解も考えられる。
(1)の別解 三角形上の格子点の個数を長方形上の個数の半分とみる。
このとき、対角線上の格子点の個数を考慮する。
(2)の別解 長方形上の格子点の個数から, 領域外の個数を引いたものと考える。
以上から、本間の格子点の個数は、次のことがポイントとなる。
1 直線x=kまたは y=k上の格子点の個数をkで表し,加える。
② 図形の特徴 対称性など) を利用する。
④ 32
nk2+1) 個の格子点が並ぶ。
よって, 格子点の総数は
k=0
(n²-k²+1)=(n²-0²+1)+(n²+1−k²)
k=1
=(n²+1)+(n²+1)1-k²
L 2
=(n+1)+(n+1)n-n(n+1)(2n+1)部にある格子点の個数
=(n+1)(4n²-n+6) (1)
2+1
個
別解 長方形の周および内
(2+1) (n+1) から, 領域
外の個数を引く。
平面において、次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。
ただし, n は自然数とする。
(1)x≧0, y≧0, x+3y3n
(2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x²
p.460 EX 21
n=
