Question

絶対合格

全然分からないです😢
何処から恒等式の(k +1)の3乗-kの3乗が出てくるのですか？途中式教えてください

問題4-3
難
1
k² = n(n + 1)(2n+1)
k=1
n
k=1
k=1
を証明せよ。ただし,212kmn(n+1) は既知としてよい。
(九大他)

問題 4-3 の解答
恒等式
これを出てくるのか
(k+1)=3k2 +3k
の両辺にをつけると、
k=1
{k+1)^} = Σ(3k2 +3k+1)
k=1
22
12
=3k²+3k+1<
k=1
k=1
k=1
12
= 3Σk² +3.n(n+1)+n
k=1
ここで, ①の左辺は
ル
k=1
{k+1)-k}=(n+1)-13 ←方針 参照
であるから,これを①に代入すると,
第4章 記号

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

これは天下り的に受け入れるものなので、
そこで深く考えずに、全体の流れを押さえてください
教科書でも突然出てきます

こういう「うまくいくもの」をストックすることで、
他のことに応用することもできたりします
たとえば(k+1)⁴-k⁴ = ……の恒等式を使って、
Σk³の公式が導出できないか？　と考えたり…

絶対合格

つまり(k +1)の3乗-kの3乗が出てくる理由って特になくて、全体の流れを抑えればいいって事ですか？

和

「理由がない」というと語弊がありますが…
結果としてうまくいくような恒等式をきちんと選んできています

まったく経験のない人が、
ゼロからこの恒等式を思いつくかと言ったらNOです
「こういう、うまい方法があるんだね」という理解でよく、
ゼロから思いつけるように頑張る必要はないということです

ただし、解説をよく噛み締めて、
「左辺のΣはうまく消し合ってシンプルな結果になるんだね」
みたいな「この方法のうまさ」を吸収しておくということですね

絶対合格

なるほど。教えてくれてありがとうございます😭！