Question

パン

傍線部の範囲がどうしてこうなるか分かりません解決お願いいたします🙇‍♀️

**
極限の
計算
ex-etanx
lim
x→+0x-tan x
59平均値の定理を用いて,次の極限を求めよ。
360 平均
* (1) li
x-
*(3) li
XC-
ポイント 3 分数の式の部分が平均値の定理の式
f(b)-f(a)
361
f(
=f'(c)1
b-a
辺の形であることに着目する。
lim f
81X
要事項
均値の定理
f(x)が閉区間[a, b] で連続一
明せ

すなわち
blog b
-
alog
59x+0 であるから、0<x<としてよい。
このとき
*tan x 8
関数 f(t) =e' はすべての実数で微分可能で
f'(t)=e'
区間[x, tanx] において,平均値の定理を用いると
ex-etanz
=e, x<c<tanx
ttant
を満たす実数が存在する。
lim x= 0, lim tanx=0であるから
1-40
よって
lim c=0
+0
1740
ex-etanx
lim
lime=1
*40 x-tan x
*-40

Answer 1

✨ Best Answer ✨

🍇こつぶ🐡

x→+0という前提条件で、極限を考える際、xは 0 に右側から限りなく近づくため x は正の微小な値 (0＜x＜π/2)と考えて差し支えありません。

x ＞0の範囲で tanx と x のどちらが大きいかを調べるために、その差を微分します。
g(x) ＝ tanx - x とおくと、
g’(x)＝1/{(cosx)^2-1}
＝{1-(cosx)^2}/(cosx) ^2
＝(sinx/cosx)^2
＝(tanx)^2

(0 ＜ x ＜π/2)でg’(x)＞0より、tanx - x ＞0

∴tanx＞x
∴x＜tanx 🙇

パン

この大小関係出した方がいいですか？

🍇こつぶ🐡

この大小関係を出す必要はあるか？
＞結論から言うと、平均値の定理を正しく適用するために必要です。

答案を作る際は、さらっと、0 ＜ x ＜π/2で
x＜tanx と記述しておくだけで十分です。