Question

mmm

数Bの自然数の2乗の和の求め方なのですが、全体的になぜ写真にある通りの解き方をするのですか、まずなぜ、k-(k-1)^3=3k^2-3k+1という恒等式を使うのですか？その後の、左の写真のようなことってなんのためにしているのですか？

第2部
ろいろな数列
第1章
数列
数
6 和の記号
数列には、これまでに学んだ等差数列 等比数列のほかにも、いろいろなもの
がある。ここでは、記号を使っていろいろな数列の和を求める方法を調べよう。
5 A 自然数の2乗の和
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イメージ
次のような1からnまでの自然数の2乗の和を求めてみよう。
S=12+2+3+......+n
そのためには,次の恒等式を利用する。
だー(k-1)=3k2-3k+1
kに1からnまでを順に代入すると
10
左辺だけ加えると
k=1
13-03-3-12-3.1+1
13-03
k=2
2°-1°=3.22 - 3･2 +1
23-13
33-23
k=3
3°-2°=3.32 - 3· 3 +1
+)
n3.
3-(n-1)3
n3-03
k=n
n-(n-1)=3•n2 -3·n+1
これらn個の等式の辺々を加えると
n=3(12+22+32 +…+n²)-3(1+2+3+....+n)+n
すなわち
n=3S-3. n(n+1) +n
2
よって
6S=2n+3n(n+1)-2n=n(n+1)(2n+1)
すなわち S=1/13n(n+1)(2n+1)
したがって, 1からnまでの自然数の2乗の和は、次のようになる
12+22 +32 +... +n2
-n
+n² = 1/1/n (n+1)(2n+1)

左辺だけ加えると
13-03
23-13
33-23
+) n3-(n-1)3
n3-03

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

これは有名な手法ですが、ゼロから思いつくことは難しいものです
よって、ここでは「そういうものか」と飲み込めばよいです

　「自然数の2乗の和は、k³-(k-1)³の恒等式を利用する」
これを知れば、「自然数の3乗の和はk⁴-(k-1)⁴を利用？」
などと推測する手掛かりになります
そういう応用の種にできればよいです

恒等式を足し合わせることで、
ほしい「自然数の2乗の和」と、知っている「自然数の和」
を結ぶ式が得られるので、それを整えることで
ほしいものが得られます
ここまでの流れ込みで、「こういううまい方法で求められるのか」
と理解すればよいです