Question

負けず嫌い©

この問題の考え方、解き方について教えていただきたいです。

68 △ABCにおいて,辺 AB, BC, CA を 2:1に内分
する点をそれぞれD,E,F として, さらに線分DE,
EF を2:1に内分する点をそれぞれ A', B' とする。
このとき, A'B' // AB であることを証明せよ。
B
F
BH

ベクトル

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ちゃし。

① 点Aを基準にベクトルを置く
Aを原点と考えます。
➝ ➝
AB=b,AC=cと置くと、
点Bの位置ベクトル：b
点Cの位置ベクトル：c

② D,E,F の位置ベクトルを求める

【Dの位置ベクトル】
D は AB を 2:1 に内分。
AD:DB=2:1なので、
➝ ➝ ➝
AD=2/3ABよって、OD=2/3b

【Eの位置ベクトル】
E は BC を 2:1 に内分。
ここは内分公式を使います。
➝
つまり、OE=1/3b+2/3c

【Fの位置ベクトル】
F は CA を 2:1 に内分。
CF:FA=1:2だから
➝
OF=2c+1 . 0/3=2/3c

③ A’ の位置ベクトル
A’ は DE を 2:1 に内分。
つまりDA':A'E=2:1
➝ ➝ ➝
内分公式より、OA′=1.OD+2.OE/3

代入すると、=1.2/3b+2(1/3b+2/3c)/3
➝
整理すると、OA′=4/9b+4/9c

④ B’ の位置ベクトル
B’ は EF を 2:1 に内分。
EB':B'F=2:1
➝ ➝ ➝
だからOB′=1.OE+2.OF/3
➝
代入すると、OB′=1/9b+2/3c

Answer 2

ちゃし。

➝
⑤A′B′を求める
➝ ➝ ➝
A′B′=OB′-OA′

代入・整理すると、=-1/3b+2/9c
平行が見えないので、内分の向きを逆にとっている
↓↓↓向きを正しく!!
【写真】

Answer 3

ちゃし。

① 座標を置く

B(0,0) C(3,0) A(0,3)と計算しやすい位置におく。

②点D,E,F の座標

D は AB を 2:1 に内分。
AB 上なので、A(0,3) B(0,0)です。
AD:DB=2:1 だから、D=(0,1)

E は BC を 2:1 に内分。
B(0,0) C(3,0)よりE=(2,0)

F は CA を 2:1 に内分。
C(3,0) A(0,3)で、CF:FA=2:1
だからF=(1,2)になる。

③ A’ の座標

A' は DE を 2:1 に内分。
D(0,1),\ E(2,0)なので、内分点の公式を使う。
A′=(4/3,1/3)

④ B’ の座標

B' は EF を 2:1 に内分。
E(2,0) F(1,2)だから
B'=(4/3,4/3)

⑤ 傾きを調べる

AB の傾きA(0,3),B(0,0)なので縦の直線。
つまりx=0

A′=(4/3,1/3)
B'=(4/3,4/3)どちらもx=4/3
なので、これも縦の直線！

⑥ 結論
AB も A’B’ も縦の直線なので、
A'B' \\AB

負けず嫌い©

丁寧に解説ありがとうございます（ ; ; ）
もし可能であればベクトルを使った解法も教えてくださると幸いです。