Question

しらつじ

解答解説の矢印の箇所が分からないです。
＋‪αで方針と桁の指定の式の10ⁿ×Mところです。
よろしくお願いいたします。

重要 例題 6n桁の数の決定と二項定理
(1)次の数の下位5桁を求めよ。
(ア) 101100
におけ
イ) 99100
②) 2951を900で割ったときの余りを求めよ。
指針
00000
(類
[類 お茶の水大]
基本1
(1) これらをまともに計算することは手計算ではほとんど不可能であり,また,それ
を要求されてもいない。 そこで、次のように 二項定理を利用すると、必要とされ
る下位5桁を求めることができる。
(ア) 101100 = (1+100)100= (1+102) 100 これを二項定理により展開し、 各項に含ま
れる 10" (nは自然数) に着目して,下位5桁に関係のある範囲を調べる。
(イ) 99100=(-1+100)’=(-1+102) 100 として, (1) と同様に考える。
- (2)(割られる数) = (割る数)×(商)+(余り)であるから, 291 を900で割ったと
きの商をM, 余りを とすると, 等式 291= 900M+r (Mは整数, 0≦x<900) が成
り立つ。2951=(30-1)" であるから,二項定理を利用して,(30-1) を 900M+r
の形に変形すればよい。
21
1
章
3次式の展開と因数分解、 二項定理
(1)(ア) 101100(1+100) TOTO=
(1+102) 10
100
答
=1+100C1×102 + 100C2 ×10 +10°×N |
展開式の第4項以下をま
=1+10000+495×105+106×N
B
とめて表した。
(Nは自然数
この計算結果の下位5桁は,第3項 第4項を除いて
10"×N (N, n は自然数,
5)の項は下位5桁の
計算では影響がない。
も変わらない。
よって, 下位5桁は
10001
(イ) 99'%=(-1+100)=(-1+102)100はちが
=1-100C1×102+100C2×104 +10°×M
=1-10000+49500000 +10°×M
=49490001+10°×M (Mは自然数)
この計算結果の下位5桁は,第2項を除いても変わら
ない。
よって、下位5桁は90001
(2) 2951(30-1)51
=3051-51C1×3050+・...
展開式の第4項以下をま
とめた。なお,99100 は
100 桁を超える非常に大
きい自然数である。
ことを示せ
【佐賀大)
a & [ε] [f]
SAKURAC900-302
-51C49×302+ 51C50×30-1
=302(3048-51C1 × 3048 +. -51C49) +51×30-1
=900(3048-51C1 ×304 +51C49) +1529
borg)-900 (3049-51C1×3048 +51C49+1)+629)
ここで,30^-51C×30+-51 C 49+1は整数である
J
(-1) は
rが奇数のとき
-1-2
が偶数のとき
1
1529=900+629
[sp
から 2951900で割った余りは 629 である。(0≦pl+ps [8]

二項定理

Answer 1

✨ Best Answer ✨

トトロ

495×10⁵もN×10⁶も下位5桁は全部 0だから考えなくて良い、ということですね

トトロ

495×10⁵=49 500 000
N×10⁶= N×1 000 000

しらつじ

なるほど、納得しました🙇
もうひとつ聞きたいのが900M+rの形に変形するのが分からないので教えて頂きたいです。割り算の割る、割られるの関係を使うのはわかるのですが…Mの部分に二項定理を使った式を代入と言うことでしょうか？
長々とすみません、よろしくお願いいたします。

トトロ

900で割った余りを求めたいのだから割り算してみると
29⁵¹÷900=M …余りr
となるでしょう、ここでM,rは今は何だかわかりませんが、求めないといけないのはrだから、Mは整数であることさえわかれば十分です

29=30-1, 900=30²
だから二項定理をうまく使って展開すれば
29⁵=(30-1)⁵¹= … となって(1)と同じように
30⁰, 30¹, 30²… , 30⁴⁹, 30⁵⁰, 30⁵¹
の項が出てくる、このうち30² 以降の項は30²=900 を含んでいるので900で割り切れる、残る 30⁰, 30¹ の項だけを考えれば良い
ということです

しらつじ

質問に答えていただきありがとうございます。
理解出来ました！改めてありがとうございました。