Question

zhzhzhzzhzhzh

私の現在の理解度を整理する。
まず、接戦の方程式の立式は出来る。
次に、t>-1で実数解を持つことの理由もわかる。
詰まったところは、場合分け。
場合分けのやり方がわかりません。
解説お願いします。

=4
X3
EX
x+3
x軸上の点(α, 0) から, 関数 y=-
のグラフに接線が引けるとき, 定数αの値の範囲を求
√x+1
めよ。
(
1
x+3
1.√x+1 -(x+3)・
HINT 関数 y=
y' =
2√x+1__
x-1
√x+1
x+1
2(x+1)x+1
の定義域はx>-1であ
ることに注意。
t+3
接点の座標をt,
+1) (t-1) とすると, 接線の方程式は
F
t+3
t-1
七は実数
y-
=
(x-t)
√t+1 2(t+1)t+1
Jet
t+3
この直線が点 (α, 0) を通るとき
t-1
=
t+1 2(t+1)√t+1
(a-t)
←両辺に 2(t+1)√t+1
0=
を掛ける。
ゆえに
-2(t+1)(t+3)=(t-1)(a-t)
よって
-2t2-8t-6-at-t²-a+t
整理して
t2+(9+α)t+6-a=0 : A
......
85
113, 17
しやすくなる。 そして2次関数の最小問題へ。

166-
数学II
接線が引けるための条件は,t についての2次方程式 A が
t>-1の範囲に実数解をもつことである。
←接線が引ける⇔接点
が存在する。
したがって,f(t)=t+(9+α)t+6-α とすると
[1]2つの解(重解を含む)がともに t> −1 の範囲にあるため
a2+22a+57≧0
(a+19)(a+3)≧0
の条件は,f(t)=0の判別式をDとすると
D≧0
①, 軸>-1.
②, f(-1)>0
③
①から
(9+a)2-4.1 (6-a)≥0
整理して
よって
D>0
ゆえに
a≦-19-3≦a
......
④
D=0
②から
9+a-1
よってa<-7
⑤
2
③から
-2-2a 0
④~⑥の共通範囲は
a≤-19
ゆえに a<-1
⑦
......
⑥
[2] 解の1つがt<-1, 他の解が-1<t の範囲にあるための
条件は
よって
f(-1)<0
ゆえに -2-2a < 0
a>-1
(8)
[3] 解の1つがt=-1のときは f(-1)=0
よって
a=-1
このとき
f(t)=t2+8t+7=(t+1)(t+7)
ゆえに,f(t) = 0 は t> - 1 の範囲に解をもたず、不適。
以上から, ⑦ ⑧ を合わせた範囲をとって
a≦-19, -1 <a
EX
放物線y=4x をCとする
④84
・1
(1) 放物線Cの傾きの法線の方程式を求めよ。
(2)x軸上の点(α, 0) から放物線Cに法線が何本引けるか。 ただし, α≠0 とする。
(1) y2=4x の両辺をxで微分すると
2yy'=4
2
よって, y=0のとき
y' =
y
放物線C上の点(x1, 1) (x0,y ≠0) におけるCの接線と
2
法線は直交するから
•m=-1 すなわち2m
一方,y2=4x1
*****
①が成り立つ。
①にy=-2mを代入すると
(-2m)².
y=0のときは存在
しない
(x1,y1)
2=4r
X

Answer 1

✨ Best Answer ✨

かき

t > -1の範囲で実数解を持つときは、以下の2つの場合があるのはわかりますか？
⚫︎ケース1
1つの解が -1より大きく、もう1つの解が -1より小さいとき
⚫︎ケース2
2つの解（重解を含む）が、どちらも -1 より大きいとき

zhzhzhzzhzhzh

変な勘違いをしていたかもしれないです。
t>-1で実数解を持つと言うのは、
少なくとも１つ実数解を
t>-1の範囲で持てば良いと言うことですね。
私は勝手に実数解の範囲がt>-1だから、
解１つが-1より大きくて(理解できる)
解1つが-1より小さい(どゆこと？🫪🫪🫪)
↑私はこの時t>-1だから何故tが-1より小さい範囲を考えないといけないの？と思っていました。
もし自分が誤解しているところがあったら教えて欲しいです🙇

かき

まず、話をしやすくするために、合わせたいと思いますが、
t > 1 ではなくて、t > -1 が条件です。

その上で、t > -1 の範囲で、f(t)=0 のtの2次方程式が実数解をもつ、という場合を考えます。
単に、f(t)=0 が実数解を持っても、それが t > -1 に入ってないと、求める場合とはなりません。

そこで、
一般的に2次方程式は、
①判別式D>0 → 異なる2つの実数解をもつ
②判別式D=0 → 1つの実数解(重解)をもつ
③判別式D<0 → 解なし (実数解をもたない)
ですね。
これに、さらに 解の範囲 t > -1 の条件を加えて考える必要があります。

それは、
a. ①の場合で、2実解とも -1 より大　→ ok(求める場合)
b. ①の場合で、1つの解だけが -1 より大 (もう1つは -1以下) → ok (求める場合)
c. ①の場合で、2実解とも -1以下 → NG (求める場合ではない)
d. ②の場合で、重解が-1 より大　→ ok(求める場合)
e. ②の場合で、重解が-1 以下　→ NG (求める場合ではない)
f. ③の場合 → NG (求める場合ではない)
となります。
これより、a, b, d の場合を求めればよい。
aとd → 上のケース2
b → ケース1
です。

わかりますか？

zhzhzhzzhzhzh

とてもわかりやすかったです
ありがとうございました