Question

こん

（2）の2回微分の後から分かりません

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0<x≦2において, 関数f(x) を
f(x)=
x - sin x
x²
と定める。 次の問いに答えよ。
(1) 導関数 f'(x) を求めよ。
(2) f'(x)=0となるxはx=πのみであることを示せ。
(3) f(x) の最大値を求めよ。

(2) f'(x) =0のとき (1) より
x-xcosx+2sinx = 0
0<x≦2πにおいて,この左辺をg(x) とおくと
g'(x)=-1-1cosx-x(-sinx) +2cosx
==
1+xsinx+cosa
g"(x) =sinx+xcosx-sinx=xcosx
g”(x) = 0 とすると, cosx=0より
x=
π 3
2'2
・π
x
(0)
g"(x)
:
TC
2
3
2π
3-2
0
-
π
-1
-
2
g'(x) (0) 7
増減表より, 0<α<2でg' (a)=0
0
π-1
3-2
+
2π
0
する。
を満たすものがただ1つ存在する。こ
のとき4<0なので, 0<x≦2 で
g(x) = 0 を満たすものがただ1つ存在
x
(0)
***
a
g'(x)
+
0
g(x)
I
-
(0) g (a) \
2π
-41
ここで,g(x) =0であることより, f'(x) =0となるxxのみであ

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ブドウくん

中間値の定理よりπ/2-1（0より大きい）と-3π/2-1（0より小さい）のあいだで必ず0を通り、その後は2πになるまで0にならないので必ずg'が0になるということを言っています。
このことからg'は0からαまでは正、αから2πまでは負になることがわかり、g'はgの増減を表すので、gは単調増加の後に単調減少に転ずるような関数だとわかります。0から始まり、増えてから（0より大きい値になって）、減って-4π（0より小さい）ということはどこかでただ1つ0を通る点があるということになります。その0になる点はちょうどx=πだということをいえばよいです。