Question

おもち

解説お願いします🙇🏻‍♀️

2次関数 f(x) = -x2 + 2x + 2 (a≦x≦a+2)について,次の問に答えなさい。
(1) 最大値 M (a) を求めなさい。
(2) 最小値m(a) を求めなさい。
幅は2

Answer 1

✨ Best Answer ✨

かき

グラフは描けますか？

おもち

はい！

かき

わかりました。説明書こうと思いますが、この問題の説明でよいですか？

別の方への問いも見てるのですが、どこがわからないのか書いてもらえると答えられると思います。もう一度書くのは大変かもしれませんが。

おもち

2次関数の問題を解いていると、場合分けはいつも

・グラフが下に凸のとき(2が軸とします)
最小値→0<a<2、2≤a
最大値→0<a<4(軸の2倍)、a=4、4<a

・グラフが上に凸のとき(2が軸とします)
最小値→ 0<a<4(軸の2倍)、a=4、4<a
最大値→ 0<a<2、2≤a

になるなと感じたんです。でも今回の場合分けはこれとは別な気がして、どう場合分けするのか分からなくなってしまいました😿

かき

貼りますね

かき

そうですね。
上の問題と、下の問題は少し違いますが、
2次関数の最大、最小の問題は、変数であるaを動かしながら、最大、最小となる箇所がどう変わるか、変わったところを場合分けの境界として分けていけばよいと思います。
その問題、問題によって、xの範囲にaが使われたり、関数の式にaが入ってたりするので、少し違いますが、基本は、上に書いたように考えて場合分けすれば解けると思います。

かき

下の問題のときのaの範囲を書き忘れたので貼りなおしますね

おもち

すごく分かりやすいです！本当にありがとうございます！

かき

よかったです。
場合分けも、最初から正確に分けなくても、分けてみて、同じとこで最大、最小になってるな、ってなったら、まとめればよいんです。
ここは、みんなハマるんです。
一つ一つじっくり納得するまでやっていくのがよいですね。

おもち

ありがとうございます😭

かき

😊

Answer 2

K.S.

f(x)=-x^2+2x+2 (a≦x≦a+2)
　　=-(x-1)^2+3
y=f(x)はx=1を軸に持つ上に凸の放物線
(1)
i) 軸が定義域内にあるときつまりa≦1≦a+2すなわち-1≦a≦1のとき
　M(a)=f(1)=3
ii) 軸が定義域内にないときつまりa<-1, a>1のとき
M(a)=max{f(a), f(a+2)}=max{-a^2+2a+2, -a^2-2a+2}
ここで、f(a)-f(a+2)=4aより、
a≧0のときM(a)=f(a), a<0のときM(a)=f(a+2)
a<-1, a>1と合わせて
　a>1のとき　M(a)=f(a)= -a^2+2a+2
　a<-1のとき　M(a)=f(a+2)= -a^2-2a+2

i), ii)より、
a<-1のとき　M(a)= f(a+2)= -a^2-2a+2
-1≦a≦1のとき　M(a)=f(1)=3
a>1のとき　M(a)=f(a)= -a^2+2a+2

(2)
m(a)=min{f(a), f(a+2)}=min{-a^2+2a+2, -a^2-2a+2}
ここで、f(a)-f(a+2)=4aより、
a≦0のときm(a)=f(a), a>0のときm(a)=f(a+2)

わからないことがあればどうぞ

おもち

ありがとうございます！質問した問題でなく、写真のように定義域が0≤x≤aの問題を何度も解いていると、いつも
・グラフが下に凸のとき(2が軸とします)
最小値→0<a<2、2≤a
最大値→0<a<4(軸の2倍)、a=4、4<a

・グラフが上に凸のとき(2が軸とします)
最小値→ 0<a<4(軸の2倍)、a=4、4<a
最大値→ 0<a<2、2≤a
で場合分けしているなと感じたんです。でもこれはいつも成り立つ訳では無いですよね？

おもち

質問した問題の場合分けはこのルールに当てはまらないですよね、、🤔

K.S.

当てはまりますよ。その場合maxやminを使わない解法になります。
二次関数の最大値最小値の問題は、グラフの特徴を捉えてどのように場合分けされるか考えると良いです。

今回、aは正とは限らず、全実数を取り得るので、
例えば
最小値:0<a<1、1≤a, 「a≦1」←これが増えていることに注意しましょう。

上の写真では、a「>0」だから最小値→0<a<2、2≤a
となっているわけであって、aに特に制限がなければa≦0の場合分けが必要になることに注意です。要するに、
「下に凸なら
最小値は、軸が定義域内ならf(軸)定義域外なら定義域の端点のどちらか
最大値は、定義域の端点のどちらか」

必ずこういう場合分けになる構造に気づくと良いです(グラフを見れば納得できるはず)。
上に凸なら、下に凸の時と逆になる感覚です。これも、下に凸の場合を理解していれば、グラフを描くとわかるでしょう。

おもち

ありがとうございます！軸を考えて場合分けするのはわかりましたが、なぜここで-1が出てくるのでしょうか？

K.S.

i) 軸が定義域内→-1≦a≦1
となっているので、
ii) 軸が定義域外→a<-1,a>1
です。ii)は、「i)以外のとき」という意味です。
つまり、-1≦a≦1でない→ a<-1,a>1です。

おもち

すごく理解できました！ありがとうございます✨何度も申し訳ないですが、(2)のminを使わないやり方も教えて頂けたら嬉しいです☺️

K.S.

minを使わないなら、一枚目の写真のようにグラフを答案に書きながら場合わけして考える必要があります。1枚目の写真に書いたことを骨格に答案を書けるはずです。

2枚目は、この問題の構造とminの考え方を赤字で記しました。2枚目の赤字を踏まえた上で、1番上の私の解答を読み返すことをおすすめします。
2枚目のようにminを使えばグラフを書かずとも
f(a)-f(a+2)の正負が入れ替わる時のaの値(今回だとa=0)を考えて不等式を解くだけで自ずと場合分けが揃います((i)a>0と(ii)a<0)。

グラフを描く手間が省ける上に、どのaの値が境界になっているかをいちいち考える必要がない(不等式を立てれば計算で出てきてくれます)という点で、minの利用にはメリットがあります。

わからないことがあれば聞いて下さい。

修正が多くて見にくいかもしれませんが、、、お許しを

おもち

たくさんの質問に答えて頂きありがとうございます！