Question

波瑠

数3積分の応用です。306に関しての質問です。例題とほぼ同じような問題なので例題通りに解いたのですが、(1)は符号が間違ってしまい，(2)は正解でした。解答と自分の回答を見比べると対応表のところが解答と違うことがわかりました。私の解き方だと(1)はできないのでしょうか？　符号だけずれてしまう原因がよくわからないので解説お願いします。

題 22 x=t2, y=2t-t2 (0≦t≦2) で表される曲線とx軸で囲まれた部分
の面積Sを求めよ。
it 媒介変数を消去して y=F(x) の形に表すこともできるが, 計算は面倒になる。そ
こで x=f(t), y=g(t) のまま, 面積Sを置換積分法で求める。
答
x = t2 より dx =2tdt
xtの対応は右のようになる。
x 0
4
0≦t≦2 のとき, y≧0 であ
t 0 → 2
るから
s=Sydx=(2t-12)・2tdt
=S(41-213)dt
=1-1=
8
例題の曲線の概形は次のようにしてかくことができる。
1
0
4
dx
=2t,
dt
dy
dt
-=2-2t
0<t<2 のとき, x>0であるから,xtに対して単調に増加する。
dt
tとxの対応は右のようになる。
dy_2-2t_1-t
t 0 → 2
x
0
→ 4
また
=
dx
2t
t
dy
よって,
-= 0 とすると t=1
t
dx
このとき
x=1
x
0-0
::
1
2
...
1
4
したがって, yのtについての増減表は右のよう
dy
+
0
-
dx
になる。
d'y
また
=
dx2
dx
dt t
2t
23
したがって, 0<t<2 のとき
d'y
<0
dx2
d(dy). dt
- d (174) · 2/1=-24³
y
0
1
0
ゆえに,曲線は上に凸であり、概形は上の図のようになる。
06 次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
*(1) x=1-t*,y=t-t (0≦t≦1)
(2) x=t+sint, y=1-cost (0≦t≦2)
x= acos³0
yasinia
じ

Date
306
da = -4 t³dt.
7-70
0 C1のとき、120より
S=Sydx
S' (+-+3) (-4 t³dt)
S-4+4+4 todt
[一舌切らせ]]]
t
35
420
435
Gl Gy
35
??
8
|(2)2=t+sint, y= 1-cost
dx=1+cost
七
07272
0772π
①ミュのときと30より
S=S2ty da
S27(1-cost)(1+Cost)
S2T (1-cost) d
2T
S² sih²tde
T
2/22 (1-cosat)d
-
22 [t2sinit]
え
=TOK

A
A
116—————4STEP数学Ⅲ
306 求める面積をSとする。
(1) | x=1− t¹£ŋ
xtの対応は次のよ
dx=-4t³dt
うになる。
2√3
x
0
1 –
t
O
1 → 0
0≦t≦1のとき,
y≧0 であるから
OS nia
S=S'ydx = {{ (t— t³)(— 4t³)dt
=
(t4t6) =4
(2) x=t+sint より
dx = (1+cost)dt
xtの対応は次のよ
うになる。
x 0 →2π
[1
-=xb
=
~
~35
81
89
x
S22S-
=
e
x
t
0
→
2π
0
π
2π
0≤t≤2 のとき,
y≧0 であるから
s=Soydx=S""(1-costX1+ cost)dt
0
0
=S(1-cos't)dt="" sin tdt
12
t -sin 2t =A
=120(1-cos2t)dt= [1-1/sin ]*
2
307
■指針
2

Answer 1

フラッグ

面積を積分で求めるとき、普通
xは小さい方から大きい方へ動かしますね。ですから
xとtとの対応表で
x:1→0と書いてる時点で無理があります。現に
その下のS=の右辺が間違ってます。
面積の公式を今一度見直して下さい。
分からないことがあったら教えてください。