Question

ぴ

数Ⅱの三角関数の問題です。
考え方がよくわからないので、教えていただけると助かります。

484 地上にいる人が,高さ200mの高層ビルの屋上に立っている高さ50mの鉄塔を見る。
鉄塔の上端を A,この人を B, 鉄塔の下端をCとするとき,∠ABCが最大となるのはこの人がビル
から何m離れたときか。 ただし、この人の身長は無視することとし,また,ビルや鉄塔の水平方向の
大きさも無視する。
[千葉大]

三角関数

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きらうる

これでわかりますか？

ぴ

なんとなくいけそうな気がします！
もう一度参考にさせていただきながら、自分で手を動かしながら考えてみます、ありがとうございました🙏🏻

きらうる

まだ微分を習いたてなんですね…
自分の解答では微分を使っていますので(しかも数3範囲の)、わからなかったでしょうね。すみません。

f(x)と置いてから、の話をしますね。

f(x)＝50x/(x²+50000)
の式ですが、xの二次方程式とするために、
y＝50x/(x²+50000)
とします。

両辺×(x²+50000)して、
(x²+50000)y=50x
→　yx²-50x+50000y＝0　…※
と、xの二次方程式になりました。
xはもともとBDの長さなので、xは実数解でないとダメですので、判別式を取ります。
D＝50²-4×y×50000y≧0
→　2500-200000y²≧0
→　2000y²≦25
→　80y²≦1
→　0≦y≦1/4√5
これより、yの取りえる値の最大値は、y＝1/4√5
であることがわかりました。
この値を※に代入します。

1/4√5x²-50x+50000・1/4√5＝0
→　x²-200√5x+50000＝0
→　(x-100√5)²＝0
→　x＝100√5
となり、ADの最大値は、100√5になります。

ぴ

こちらこそ何度もご説明いただきすみません、
正直、教科書と格闘しながら式を読み取っても、なんとなくなくしかわからなかったので本当に助かります…！
今度こそわかりました！ご丁寧にありがとうございました🙏🏻

Answer 2

ととろ

鉄塔の上端を見上げた角度をα
鉄塔の下端を見上げた角度をβ
距離をxとすると
250/x=tan α
200/x=tan β
ここから y=α-β が最大になる時のxを見つけます
yをxの(またはxをyの)関数として表し、たぶん微分を使うのでしょう

ぴ

説明していただいたところ本当に申し訳ないのですが、まだ微分は導関数までの知識しかなくて💦
もし微分を使わずに解く方法があれば教えていただきたいです🙏

（補足
答えは100√5mのときでした）

ととろ

ああそうか、
α-βの最大だからtan(α-β)の最大を求めればいい
加法定理でtan(α-β)を展開してtan αとtan βをxで表したものを代入すればxの2次式の問題になると思います

ぴ

なるほど！
ご丁寧に返信いただき、助かりました。
参考にさせていただきながら、もう一度ちゃんと考えてみます。ありがとうございました🙏🏻