Question

鴨鴨

求解😭🙏

6.已知 lim
ax²+bx²+cx+d
an²+bn²+cn+d
x→1
x²+x-2
=0且 lim
=1,試求實數序組
n→ ∞
n²+n-2
容
(a,b,c,d) = (0,1,-2,b)
代端

Answer 1

可知

若x→1極限存在，表示它是0/0的形式
因此 a+b+c+d=0。

又n→∞時，極限為1（一個固定常數）
但是分母的多項式僅二次，所以a=0是必然的

從極限來看，二次項係數比值 b/1 = 1
b=1

可知 c+d=–1。(d=–1–c)

再考慮 x²+cx+(–1–c)
------------------------
(x+2)(x–1)
既然這極限存在，分子的多項式就要被(x–1)整除

1 + (c+1)
______________
1–1 ) 1 +c –1–c
1 –1
------------------------
c+1 .....

約分後，這個極限就剩下
x + (c+1)
----------------
x + 2

然後再把x=1代入，
(1+c+1)/3 = 0
c=–2，d=1
完成。